Математический анализ Примеры

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + x y - x = 0$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Решим относительно $\frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 1 \frac{d y}{d x} + x y - x = 0$

Этап 1.1.1.2

Умножим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + x y - x = 0$

Этап 1.1.2

Перенесем все члены без $\frac{d y}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вычтем $x y$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} - x = - x y$

Этап 1.1.2.2

Добавим $x$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} = - x y + x$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $\frac{d y}{d x}$ из $x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вынесем множитель $\frac{d y}{d x}$ из $x^{2} \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} = - x y + x$

Этап 1.1.3.2

Возведем $\frac{d y}{d x}$ в степень $1$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} = - x y + x$

Этап 1.1.3.3

Вынесем множитель $\frac{d y}{d x}$ из ${(\frac{d y}{d x})}^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 1 = - x y + x$

Этап 1.1.3.4

Вынесем множитель $\frac{d y}{d x}$ из $\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 1$ .

$\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = - x y + x$

Этап 1.1.4

Разделим каждый член $\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = - x y + x$ на $x^{2} + 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Разделим каждый член $\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = - x y + x$ на $x^{2} + 1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{- x y}{x^{2} + 1} + \frac{x}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.1

Сократим общий множитель $x^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{- x y}{x^{2} + 1} + \frac{x}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.4.2.1.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x y}{x^{2} + 1} + \frac{x}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x y + x}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.4.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.3.2.1

Вынесем множитель $x$ из $- x y + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.3.2.1.1

Вынесем множитель $x$ из $- x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- 1 y) + x}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.4.3.2.1.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- 1 y) + x^{1}}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.4.3.2.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- 1 y) + x \cdot 1}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.4.3.2.1.4

Вынесем множитель $x$ из $x (- 1 y) + x \cdot 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- 1 y + 1)}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.4.3.2.2

Перепишем $- 1 y$ в виде $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- y + 1)}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.4.3.3

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.3.3.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- (y) + 1)}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.4.3.3.2

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- (y) - 1 (- 1))}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.4.3.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (y) - 1 (- 1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- (y - 1))}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.4.3.3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.3.3.4.1

Перепишем $- (y - 1)$ в виде $- 1 (y - 1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- 1 (y - 1))}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.4.3.3.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x (y - 1)}{x^{2} + 1}$

Этап 1.2

Перегруппируем множители.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{x^{2} + 1} (y - 1)$

Этап 1.3

Умножим обе части на $\frac{1}{y - 1}$ .

$\frac{1}{y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y - 1} (- \frac{x}{x^{2} + 1} (y - 1))$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{y - 1} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y - 1} (\frac{x}{x^{2} + 1} (y - 1))$

Этап 1.4.2

Сократим общий множитель $y - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{y - 1}$ в числитель.

$\frac{1}{y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y - 1} (\frac{x}{x^{2} + 1} (y - 1))$

Этап 1.4.2.2

Вынесем множитель $y - 1$ из $\frac{x}{x^{2} + 1} (y - 1)$ .

$\frac{1}{y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y - 1} ((y - 1) \frac{x}{x^{2} + 1})$

Этап 1.4.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y - 1} ((y - 1) \frac{x}{x^{2} + 1})$

Этап 1.4.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y - 1} \frac{d y}{d x} = - \frac{x}{x^{2} + 1}$

Этап 1.5

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y - 1} d y = - \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y - 1} d y = \int - \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть $u_{1} = y - 1$ . Тогда $d u_{1} = d y$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Пусть $u_{1} = y - 1$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Дифференцируем $y - 1$ .

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

Этап 2.2.1.1.2

По правилу суммы производная $y - 1$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Этап 2.2.1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Этап 2.2.1.1.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- 1$ относительно $y$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 2.2.1.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 2.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Этап 2.2.2

Интеграл $\frac{1}{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $y - 1$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = \int - \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Этап 2.3.2

Пусть $u_{2} = x^{2} + 1$ . Тогда $d u_{2} = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Пусть $u_{2} = x^{2} + 1$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Дифференцируем $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Этап 2.3.2.1.2

По правилу суммы производная $x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.3.2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.3.2.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x + 0$

Этап 2.3.2.1.5

Добавим $2 x$ и $0$ .

$2 x$

Этап 2.3.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 2.3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Умножим $\frac{1}{u_{2}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Этап 2.3.3.2

Перенесем $2$ влево от $u_{2}$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Этап 2.3.4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Этап 2.3.5

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Этап 2.3.6

Упростим.

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Этап 2.3.7

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x^{2} + 1$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| y - 1 |) = - \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Объединим $\ln (| x^{2} + 1 |)$ и $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y - 1 |) = - \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C$

Этап 3.2

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| y - 1 |) + \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Этап 3.3

Чтобы записать $\ln (| y - 1 |)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| y - 1 |) \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Этап 3.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Объединим $\ln (| y - 1 |)$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (| y - 1 |) \cdot 2}{2} + \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Этап 3.4.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\ln (| y - 1 |) \cdot 2 + \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Этап 3.5

Перенесем $2$ влево от $\ln (| y - 1 |)$ .

$\frac{2 \ln (| y - 1 |) + \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Этап 3.6

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Упростим $\frac{2 \ln (| y - 1 |) + \ln (| x^{2} + 1 |)}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.1.1

Упростим $2 \ln (| y - 1 |)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\frac{\ln ({| y - 1 |}^{2}) + \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Этап 3.6.1.1.2

Уберем знак модуля в ${| y - 1 |}^{2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$\frac{\ln ({(y - 1)}^{2}) + \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Этап 3.6.1.1.3

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\ln ({(y - 1)}^{2} | x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Этап 3.6.1.2

Перепишем $\frac{\ln ({(y - 1)}^{2} | x^{2} + 1 |)}{2}$ в виде $\frac{1}{2} \ln ({(y - 1)}^{2} | x^{2} + 1 |)$ .

$\frac{1}{2} \ln ({(y - 1)}^{2} | x^{2} + 1 |) = C$

Этап 3.6.1.3

Упростим $\frac{1}{2} \ln ({(y - 1)}^{2} | x^{2} + 1 |)$ путем переноса $\frac{1}{2}$ под логарифм.

$\ln ({({(y - 1)}^{2} | x^{2} + 1 |)}^{\frac{1}{2}}) = C$

Этап 3.6.1.4

Применим правило умножения к ${(y - 1)}^{2} | x^{2} + 1 |$ .

$\ln ({({(y - 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Этап 3.6.1.5

Перемножим экспоненты в ${({(y - 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln ({(y - 1)}^{2 (\frac{1}{2})} {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Этап 3.6.1.5.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.5.2.1

Сократим общий множитель.

$\ln ({(y - 1)}^{2 (\frac{1}{2})} {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Этап 3.6.1.5.2.2

Перепишем это выражение.

$\ln ({(y - 1)}^{1} {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Этап 3.6.1.6

Упростим.

$\ln ((y - 1) {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Этап 3.6.1.7

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} - 1 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Этап 3.6.1.8

Перепишем $- 1 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ в виде $- {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} - {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Этап 3.7

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} - {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}})} = e^{C}$

Этап 3.8

Перепишем $\ln (y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} - {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) = C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{C} = y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} - {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$

Этап 3.9

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Перепишем уравнение в виде $y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} - {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$ .

$y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} - {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$

Этап 3.9.2

Добавим ${| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ к обеим частям уравнения.

$y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} + {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$

Этап 3.9.3

Разделим каждый член $y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} + {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ на ${| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.3.1

Разделим каждый член $y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} + {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ на ${| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{C}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.9.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{C}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.9.3.2.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{e^{C}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.9.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.3.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{e^{C} + {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{C + {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}$