Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{3}} - x$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = (\frac{1}{x^{3}} - x) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int \frac{1}{x^{3}} - x d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{x^{3}} - x d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{x^{3}} d x + \int - x d x$

Этап 2.3.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Вынесем $x^{3}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$y + C_{1} = \int {(x^{3})}^{- 1} d x + \int - x d x$

Этап 2.3.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = \int x^{3 \cdot - 1} d x + \int - x d x$

Этап 2.3.2.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$y + C_{1} = \int x^{- 3} d x + \int - x d x$

Этап 2.3.3

По правилу степени интеграл $x^{- 3}$ по $x$ имеет вид $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{- 2} + C_{2} + \int - x d x$

Этап 2.3.4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{- 2} + C_{2} - \int x d x$

Этап 2.3.5

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{- 2} + C_{2} - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Этап 2.3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Упростим.

$y + C_{1} = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}} - (\frac{1}{2} x^{2}) + C_{4}$

Этап 2.3.6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.2.1

Умножим $\frac{1}{x^{2}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{x^{2} \cdot 2} - (\frac{1}{2} x^{2}) + C_{4}$

Этап 2.3.6.2.2

Перенесем $2$ влево от $x^{2}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{2 \cdot x^{2}} - (\frac{1}{2} x^{2}) + C_{4}$

Этап 2.3.6.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{2 x^{2}} - \frac{x^{2}}{2} + C_{4}$

Этап 2.3.7

Изменим порядок членов.

$y + C_{1} = - \frac{1}{2 x^{2}} - \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.8

Изменим порядок членов.

$y + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2 x^{2}} + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = - \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2 x^{2}} + K$