Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \sqrt[3]{3 x - 1}$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = \sqrt[3]{3 x - 1} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int \sqrt[3]{3 x - 1} d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int \sqrt[3]{3 x - 1} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Пусть $u = 3 x - 1$ . Тогда $d u = 3 d x$ , следовательно $\frac{1}{3} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Пусть $u = 3 x - 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Дифференцируем $3 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [3 x - 1]$

Этап 2.3.1.1.2

По правилу суммы производная $3 x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.3.1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.3.1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.3.1.1.3.3

Умножим $3$ на $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.3.1.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 + 0$

Этап 2.3.1.1.4.2

Добавим $3$ и $0$ .

$3$

Этап 2.3.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$y + C_{1} = \int \sqrt[3]{u} \frac{1}{3} d u$

Этап 2.3.2

Объединим $\sqrt[3]{u}$ и $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{\sqrt[3]{u}}{3} d u$

Этап 2.3.3

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int \sqrt[3]{u} d u$

Этап 2.3.4

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{u}$ в виде $u^{\frac{1}{3}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int u^{\frac{1}{3}} d u$

Этап 2.3.5

По правилу степени интеграл $u^{\frac{1}{3}}$ по $u$ имеет вид $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C_{2})$

Этап 2.3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Перепишем $\frac{1}{3} (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C_{2})$ в виде $\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C_{2}$

Этап 2.3.6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.2.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{3}{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{3}{3 \cdot 4} u^{\frac{4}{3}} + C_{2}$

Этап 2.3.6.2.2

Умножим $3$ на $4$ .

$y + C_{1} = \frac{3}{12} u^{\frac{4}{3}} + C_{2}$

Этап 2.3.6.2.3

Сократим общий множитель $3$ и $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.2.3.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$y + C_{1} = \frac{3 (1)}{12} u^{\frac{4}{3}} + C_{2}$

Этап 2.3.6.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.2.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $12$ .

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 4} u^{\frac{4}{3}} + C_{2}$

Этап 2.3.6.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 4} u^{\frac{4}{3}} + C_{2}$

Этап 2.3.6.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} u^{\frac{4}{3}} + C_{2}$

Этап 2.3.7

Заменим все вхождения $u$ на $3 x - 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} {(3 x - 1)}^{\frac{4}{3}} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = \frac{1}{4} {(3 x - 1)}^{\frac{4}{3}} + K$