Математический анализ Примеры

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + y = \ln (| x |)$ ; con $y (1) = 10$

Этап 1

Проверим, является ли левая часть уравнения результатом дифференцирования члена $(x + 1) y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x + 1$ и $g (x) = y$ .

$(x + 1) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 1.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$(x + 1) y' + y \frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 1.3

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(x + 1) y' + y (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(x + 1) y' + y (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 1.5

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$(x + 1) y' + y (1 + 0)$

Этап 1.6

Добавим $1$ и $0$ .

$(x + 1) y' + y \cdot 1$

Этап 1.7

Подставим $\frac{d y}{d x}$ вместо $y'$ .

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

Этап 1.8

Изменим порядок $y$ и $1$ .

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

Этап 1.9

Умножим $y$ на $1$ .

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + y$

Этап 2

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [(x + 1) y] = \ln (| x |)$

Этап 3

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [(x + 1) y] d x = \int \ln (| x |) d x$

Этап 4

Проинтегрируем левую часть.

$(x + 1) y = \int \ln (| x |) d x$

Этап 5

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \ln (| x |)$ и $d v = 1$ .

$(x + 1) y = \ln (| x |) x - \int x \frac{1}{x} d x$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Объединим $x$ и $\frac{1}{x}$ .

$(x + 1) y = \ln (| x |) x - \int \frac{x}{x} d x$

Этап 5.2.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сократим общий множитель.

$(x + 1) y = \ln (| x |) x - \int \frac{x}{x} d x$

Этап 5.2.2.2

Перепишем это выражение.

$(x + 1) y = \ln (| x |) x - \int d x$

Этап 5.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$(x + 1) y = \ln (| x |) x - (x + C)$

Этап 5.4

Упростим.

$(x + 1) y = \ln (| x |) x - x + C$

Этап 6

Разделим каждый член $(x + 1) y = \ln (| x |) x - x + C$ на $x + 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим каждый член $(x + 1) y = \ln (| x |) x - x + C$ на $x + 1$ .

$\frac{(x + 1) y}{x + 1} = \frac{\ln (| x |) x}{x + 1} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

Этап 6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x + 1) y}{x + 1} = \frac{\ln (| x |) x}{x + 1} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

Этап 6.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\ln (| x |) x}{x + 1} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

Этап 6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{\ln (| x |) x}{x + 1} - \frac{x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

Этап 6.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{\ln (| x |) x - x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

Этап 6.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{\ln (| x |) x - x + C}{x + 1}$

Этап 6.3.4

Изменим порядок множителей в $\ln (| x |) x - x + C$ .

$y = \frac{x \ln (| x |) - x + C}{x + 1}$

Этап 7

Используем начальное условие, чтобы найти значение $C$ , подставив $1$ вместо $x$ и $10$ вместо $y$ в $y = \frac{x \ln (| x |) - x + C}{x + 1}$ .

$10 = \frac{1 \ln (| 1 |) - 1 + C}{1 + 1}$

Этап 8

Решим относительно $C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{1 \ln (| 1 |) - 1 + C}{1 + 1} = 10$ .

$\frac{1 \ln (| 1 |) - 1 + C}{1 + 1} = 10$

Этап 8.2

Умножим обе части уравнения на $1 + 1$ .

$(1 + 1) \frac{1 \ln (| 1 |) - 1 + C}{1 + 1} = (1 + 1) \cdot 10$

Этап 8.3

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Упростим $(1 + 1) \frac{1 \ln (| 1 |) - 1 + C}{1 + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1.1.1

Умножим $\ln (| 1 |)$ на $1$ .

$(1 + 1) \frac{\ln (| 1 |) - 1 + C}{1 + 1} = (1 + 1) \cdot 10$

Этап 8.3.1.1.1.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$(1 + 1) \frac{\ln (1) - 1 + C}{1 + 1} = (1 + 1) \cdot 10$

Этап 8.3.1.1.1.3

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$(1 + 1) \frac{0 - 1 + C}{1 + 1} = (1 + 1) \cdot 10$

Этап 8.3.1.1.1.4

Вычтем $1$ из $0$ .

$(1 + 1) \frac{- 1 + C}{1 + 1} = (1 + 1) \cdot 10$

Этап 8.3.1.1.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1.2.1

Добавим $1$ и $1$ .

$(1 + 1) \frac{- 1 + C}{2} = (1 + 1) \cdot 10$

Этап 8.3.1.1.2.2

Добавим $1$ и $1$ .

$2 \frac{- 1 + C}{2} = (1 + 1) \cdot 10$

Этап 8.3.1.1.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1.2.3.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{- 1 + C}{2} = (1 + 1) \cdot 10$

Этап 8.3.1.1.2.3.2

Перепишем это выражение.

$- 1 + C = (1 + 1) \cdot 10$

Этап 8.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Упростим $(1 + 1) \cdot 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1.1

Добавим $1$ и $1$ .

$- 1 + C = 2 \cdot 10$

Этап 8.3.2.1.2

Умножим $2$ на $10$ .

$- 1 + C = 20$

Этап 8.4

Перенесем все члены без $C$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$C = 20 + 1$

Этап 8.4.2

Добавим $20$ и $1$ .

$C = 21$

Этап 9

Подставим $21$ вместо $C$ в $y = \frac{x \ln (| x |) - x + C}{x + 1}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Подставим $21$ вместо $C$ .

$y = \frac{x \ln (| x |) - x + 21}{x + 1}$