Математический анализ Примеры

$\frac{d x}{d y} = \frac{y^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d x}{d y} = {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{y^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.2

Сократим общий множитель ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d x}{d y} = {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{y^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.2.2

Перепишем это выражение.

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d x}{d y} = y^{2}$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x = y^{2} d y$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x = \int y^{2} d y$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\int \sqrt{{(1 - x^{2})}^{1}} d x = \int y^{2} d y$

Этап 2.2.2

Пусть $x = \sin (t)$ , где $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Тогда $d x = \cos (t) d t$ . Заметим, что поскольку $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , выражение $\cos (t)$ положительно.

$\int \sqrt{{(1 - \sin^{2} (t))}^{1}} \cos (t) d t = \int y^{2} d y$

Этап 2.2.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Упростим $\sqrt{{(1 - \sin^{2} (t))}^{1}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.1

Применим формулу Пифагора.

$\int \sqrt{{(\cos^{2} (t))}^{1}} \cos (t) d t = \int y^{2} d y$

Этап 2.2.3.1.2

Перемножим экспоненты в ${(\cos^{2} (t))}^{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \sqrt{{\cos (t)}^{2 \cdot 1}} \cos (t) d t = \int y^{2} d y$

Этап 2.2.3.1.2.2

Умножим $2$ на $1$ .

$\int \sqrt{\cos^{2} (t)} \cos (t) d t = \int y^{2} d y$

Этап 2.2.3.1.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\int \cos (t) \cos (t) d t = \int y^{2} d y$

Этап 2.2.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.1

Возведем $\cos (t)$ в степень $1$ .

$\int \cos^{1} (t) \cos (t) d t = \int y^{2} d y$

Этап 2.2.3.2.2

Возведем $\cos (t)$ в степень $1$ .

$\int \cos^{1} (t) \cos^{1} (t) d t = \int y^{2} d y$

Этап 2.2.3.2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int {\cos (t)}^{1 + 1} d t = \int y^{2} d y$

Этап 2.2.3.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\int \cos^{2} (t) d t = \int y^{2} d y$

Этап 2.2.4

Используем формулу половинного угла для записи $\cos^{2} (t)$ в виде $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$\int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t = \int y^{2} d y$

Этап 2.2.5

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t = \int y^{2} d y$

Этап 2.2.6

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{2} (\int d t + \int \cos (2 t) d t) = \int y^{2} d y$

Этап 2.2.7

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{2} (t + C_{1} + \int \cos (2 t) d t) = \int y^{2} d y$

Этап 2.2.8

Пусть $u = 2 t$ . Тогда $d u = 2 d t$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.8.1

Пусть $u = 2 t$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.8.1.1

Дифференцируем $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Этап 2.2.8.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $t$ , производная $2 t$ по $t$ равна $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Этап 2.2.8.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 2.2.8.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 2.2.8.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\frac{1}{2} (t + C_{1} + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u) = \int y^{2} d y$

Этап 2.2.9

Объединим $\cos (u)$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (t + C_{1} + \int \frac{\cos (u)}{2} d u) = \int y^{2} d y$

Этап 2.2.10

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (t + C_{1} + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u) = \int y^{2} d y$

Этап 2.2.11

Интеграл $\cos (u)$ по $u$ имеет вид $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (t + C_{1} + \frac{1}{2} (\sin (u) + C_{2})) = \int y^{2} d y$

Этап 2.2.12

Упростим.

$\frac{1}{2} (t + \frac{1}{2} \sin (u)) + C_{3} = \int y^{2} d y$

Этап 2.2.13

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.13.1

Заменим все вхождения $t$ на $\arcsin (x)$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) + \frac{1}{2} \sin (u)) + C_{3} = \int y^{2} d y$

Этап 2.2.13.2

Заменим все вхождения $u$ на $2 t$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C_{3} = \int y^{2} d y$

Этап 2.2.13.3

Заменим все вхождения $t$ на $\arcsin (x)$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (x))) + C_{3} = \int y^{2} d y$

Этап 2.2.14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.14.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\sin (2 \arcsin (x))$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}) + C_{3} = \int y^{2} d y$

Этап 2.2.14.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2} \arcsin (x) + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2} + C_{3} = \int y^{2} d y$

Этап 2.2.14.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\arcsin (x)$ .

$\frac{\arcsin (x)}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2} + C_{3} = \int y^{2} d y$

Этап 2.2.14.4

Умножим $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.14.4.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}$ .

$\frac{\arcsin (x)}{2} + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2 \cdot 2} + C_{3} = \int y^{2} d y$

Этап 2.2.14.4.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{\arcsin (x)}{2} + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{4} + C_{3} = \int y^{2} d y$

Этап 2.2.15

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{2} \arcsin (x) + \frac{1}{4} \sin (2 \arcsin (x)) + C_{3} = \int y^{2} d y$

Этап 2.3

По правилу степени интеграл $y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{2} \arcsin (x) + \frac{1}{4} \sin (2 \arcsin (x)) + C_{3} = \frac{1}{3} y^{3} + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{1}{2} \arcsin (x) + \frac{1}{4} \sin (2 \arcsin (x)) = \frac{1}{3} y^{3} + K$