Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = x^{4} \sqrt{x^{3}}$ , $y (0) = 0$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = x^{4} \sqrt{x^{3}} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int x^{4} \sqrt{x^{3}} d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int x^{4} \sqrt{x^{3}} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x^{3}}$ в виде $x^{\frac{3}{2}}$ .

$y + C_{1} = \int x^{4} x^{\frac{3}{2}} d x$

Этап 2.3.1.2

Умножим $x^{4}$ на $x^{\frac{3}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y + C_{1} = \int x^{4 + \frac{3}{2}} d x$

Этап 2.3.1.2.2

Чтобы записать $4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y + C_{1} = \int x^{4 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}} d x$

Этап 2.3.1.2.3

Объединим $4$ и $\frac{2}{2}$ .

$y + C_{1} = \int x^{\frac{4 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}} d x$

Этап 2.3.1.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y + C_{1} = \int x^{\frac{4 \cdot 2 + 3}{2}} d x$

Этап 2.3.1.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.5.1

Умножим $4$ на $2$ .

$y + C_{1} = \int x^{\frac{8 + 3}{2}} d x$

Этап 2.3.1.2.5.2

Добавим $8$ и $3$ .

$y + C_{1} = \int x^{\frac{11}{2}} d x$

Этап 2.3.2

По правилу степени интеграл $x^{\frac{11}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{13} x^{\frac{13}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{13} x^{\frac{13}{2}} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = \frac{2}{13} x^{\frac{13}{2}} + K$

Этап 3

Используем начальное условие, чтобы найти значение $K$ , подставив $0$ вместо $x$ и $0$ вместо $y$ в $y = \frac{2}{13} x^{\frac{13}{2}} + K$ .

$0 = \frac{2}{13} \cdot 0^{\frac{13}{2}} + K$

Этап 4

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{2}{13} \cdot 0^{\frac{13}{2}} + K = 0$ .

$\frac{2}{13} \cdot 0^{\frac{13}{2}} + K = 0$

Этап 4.2

Упростим $\frac{2}{13} \cdot 0^{\frac{13}{2}} + K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$\frac{2}{13} \cdot {(0^{2})}^{\frac{13}{2}} + K = 0$

Этап 4.2.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{13} \cdot 0^{2 (\frac{13}{2})} + K = 0$

Этап 4.2.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{13} \cdot 0^{2 (\frac{13}{2})} + K = 0$

Этап 4.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{13} \cdot 0^{13} + K = 0$

Этап 4.2.1.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{2}{13} \cdot 0 + K = 0$

Этап 4.2.1.5

Умножим $\frac{2}{13}$ на $0$ .

$0 + K = 0$

Этап 4.2.2

Добавим $0$ и $K$ .

$K = 0$

Этап 5

Подставим $0$ вместо $K$ в $y = \frac{2}{13} x^{\frac{13}{2}} + K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $0$ вместо $K$ .

$y = \frac{2}{13} x^{\frac{13}{2}} + 0$

Этап 5.2

Добавим $\frac{2}{13} x^{\frac{13}{2}}$ и $0$ .

$y = \frac{2}{13} x^{\frac{13}{2}}$

Этап 5.3

Объединим $\frac{2}{13}$ и $x^{\frac{13}{2}}$ .

$y = \frac{2 x^{\frac{13}{2}}}{13}$