Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = y^{2} - {(x y)}^{2}$ , $y (3) = 1$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = y$ и $b = x y$ .

$\frac{d y}{d x} = (y + x y) (y - (x y))$

Этап 1.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вынесем множитель $y$ из $y + x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{d y}{d x} = (y^{1} + x y) (y - (x y))$

Этап 1.1.2.1.2

Вынесем множитель $y$ из $y^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = (y \cdot 1 + x y) (y - (x y))$

Этап 1.1.2.1.3

Вынесем множитель $y$ из $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = (y \cdot 1 + y x) (y - (x y))$

Этап 1.1.2.1.4

Вынесем множитель $y$ из $y \cdot 1 + y x$ .

$\frac{d y}{d x} = y (1 + x) (y - (x y))$

Этап 1.1.2.2

Избавимся от скобок.

$\frac{d y}{d x} = y (1 + x) (y - x y)$

Этап 1.1.2.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Вынесем множитель $y$ из $y - x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{d y}{d x} = y (1 + x) (y^{1} - x y)$

Этап 1.1.2.3.1.2

Вынесем множитель $y$ из $y^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = y (1 + x) (y \cdot 1 - x y)$

Этап 1.1.2.3.1.3

Вынесем множитель $y$ из $- x y$ .

$\frac{d y}{d x} = y (1 + x) (y \cdot 1 + y (- x))$

Этап 1.1.2.3.1.4

Вынесем множитель $y$ из $y \cdot 1 + y (- x)$ .

$\frac{d y}{d x} = y (1 + x) (y (1 - x))$

Этап 1.1.2.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$\frac{d y}{d x} = y (1 + x) y (1 - x)$

Этап 1.1.2.4

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{d y}{d x} = y^{1} y (1 + x) (1 - x)$

Этап 1.1.2.4.2

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{d y}{d x} = y^{1} y^{1} (1 + x) (1 - x)$

Этап 1.1.2.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d y}{d x} = y^{1 + 1} (1 + x) (1 - x)$

Этап 1.1.2.4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{d y}{d x} = y^{2} (1 + x) (1 - x)$

Этап 1.2

Умножим обе части на $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} (1 + x) (1 - x))$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Вынесем множитель $y^{2}$ из $y^{2} (1 + x) (1 - x)$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} ((1 + x) (1 - x)))$

Этап 1.3.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} ((1 + x) (1 - x)))$

Этап 1.3.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = (1 + x) (1 - x)$

Этап 1.3.2

Развернем $(1 + x) (1 - x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 1 (1 - x) + x (1 - x)$

Этап 1.3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x)$

Этап 1.3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)$

Этап 1.3.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)$

Этап 1.3.3.1.2

Умножим $- x$ на $1$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 1 - x + x \cdot 1 + x (- x)$

Этап 1.3.3.1.3

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 1 - x + x + x (- x)$

Этап 1.3.3.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 1 - x + x - x \cdot x$

Этап 1.3.3.1.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1.5.1

Перенесем $x$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 1 - x + x - (x \cdot x)$

Этап 1.3.3.1.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 1 - x + x - x^{2}$

Этап 1.3.3.2

Добавим $- x$ и $x$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 1 + 0 - x^{2}$

Этап 1.3.3.3

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 1 - x^{2}$

Этап 1.4

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y^{2}} d y = (1 - x^{2}) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int 1 - x^{2} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем $y^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int 1 - x^{2} d x$

Этап 2.2.1.2

Перемножим экспоненты в ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int 1 - x^{2} d x$

Этап 2.2.1.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int 1 - x^{2} d x$

Этап 2.2.2

По правилу степени интеграл $y^{- 2}$ по $y$ имеет вид $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int 1 - x^{2} d x$

Этап 2.2.3

Перепишем $- y^{- 1} + C_{1}$ в виде $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int 1 - x^{2} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int d x + \int - x^{2} d x$

Этап 2.3.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x + C_{2} + \int - x^{2} d x$

Этап 2.3.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x + C_{2} - \int x^{2} d x$

Этап 2.3.4

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x + C_{2} - (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3})$

Этап 2.3.5

Упростим.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x - \frac{1}{3} x^{3} + C_{4}$

Этап 2.3.6

Изменим порядок членов.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \frac{1}{3} x^{3} + x + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$- \frac{1}{y} = - \frac{1}{3} x^{3} + x + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $x^{3}$ и $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{y} = - \frac{x^{3}}{3} + x + K$

Этап 3.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$y, 3, 1, 1$

Этап 3.2.2

Так как $y, 3, 1, 1$ содержит и числа, и переменные, НОК можно найти в два этапа. Найдем НОК для числовой части $1, 3, 1, 1$ , затем найдем НОК для части с переменной $y^{1}$ .

Этап 3.2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 3.2.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 3.2.5

Поскольку $3$ не имеет множителей, кроме $1$ и $3$ .

$3$ — простое число

Этап 3.2.6

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 3.2.7

НОК $1, 3, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$3$

Этап 3.2.8

Множителем $y^{1}$ является само значение $y$ .

$y^{1} = y$

$y$ встречается $1$ раз.

Этап 3.2.9

НОК $y^{1}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$y$

Этап 3.2.10

НОК $y, 3, 1, 1$ представляет собой произведение числовой части $3$ и переменной части.

$3 y$

Этап 3.3

Каждый член в $- \frac{1}{y} = - \frac{x^{3}}{3} + x + K$ умножим на $3 y$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим каждый член $- \frac{1}{y} = - \frac{x^{3}}{3} + x + K$ на $3 y$ .

$- \frac{1}{y} (3 y) = - \frac{x^{3}}{3} (3 y) + x (3 y) + K (3 y)$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{y}$ в числитель.

$\frac{- 1}{y} (3 y) = - \frac{x^{3}}{3} (3 y) + x (3 y) + K (3 y)$

Этап 3.3.2.1.2

Вынесем множитель $y$ из $3 y$ .

$\frac{- 1}{y} (y \cdot 3) = - \frac{x^{3}}{3} (3 y) + x (3 y) + K (3 y)$

Этап 3.3.2.1.3

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{y} (y \cdot 3) = - \frac{x^{3}}{3} (3 y) + x (3 y) + K (3 y)$

Этап 3.3.2.1.4

Перепишем это выражение.

$- 1 \cdot 3 = - \frac{x^{3}}{3} (3 y) + x (3 y) + K (3 y)$

Этап 3.3.2.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- 3 = - \frac{x^{3}}{3} (3 y) + x (3 y) + K (3 y)$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{x^{3}}{3}$ в числитель.

$- 3 = \frac{- x^{3}}{3} (3 y) + x (3 y) + K (3 y)$

Этап 3.3.3.1.1.2

Вынесем множитель $3$ из $3 y$ .

$- 3 = \frac{- x^{3}}{3} (3 (y)) + x (3 y) + K (3 y)$

Этап 3.3.3.1.1.3

Сократим общий множитель.

$- 3 = \frac{- x^{3}}{3} (3 y) + x (3 y) + K (3 y)$

Этап 3.3.3.1.1.4

Перепишем это выражение.

$- 3 = - x^{3} y + x (3 y) + K (3 y)$

Этап 3.3.3.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 3 = - x^{3} y + 3 x y + K (3 y)$

Этап 3.3.3.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 3 = - x^{3} y + 3 x y + 3 K y$

Этап 3.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем уравнение в виде $- x^{3} y + 3 x y + 3 K y = - 3$ .

$- x^{3} y + 3 x y + 3 K y = - 3$

Этап 3.4.2

Вынесем множитель $y$ из $- x^{3} y + 3 x y + 3 K y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Вынесем множитель $y$ из $- x^{3} y$ .

$y (- x^{3}) + 3 x y + 3 K y = - 3$

Этап 3.4.2.2

Вынесем множитель $y$ из $3 x y$ .

$y (- x^{3}) + y (3 x) + 3 K y = - 3$

Этап 3.4.2.3

Вынесем множитель $y$ из $3 K y$ .

$y (- x^{3}) + y (3 x) + y (3 K) = - 3$

Этап 3.4.2.4

Вынесем множитель $y$ из $y (- x^{3}) + y (3 x)$ .

$y (- x^{3} + 3 x) + y (3 K) = - 3$

Этап 3.4.2.5

Вынесем множитель $y$ из $y (- x^{3} + 3 x) + y (3 K)$ .

$y (- x^{3} + 3 x + 3 K) = - 3$

Этап 3.4.3

Разделим каждый член $y (- x^{3} + 3 x + 3 K) = - 3$ на $- x^{3} + 3 x + 3 K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Разделим каждый член $y (- x^{3} + 3 x + 3 K) = - 3$ на $- x^{3} + 3 x + 3 K$ .

$\frac{y (- x^{3} + 3 x + 3 K)}{- x^{3} + 3 x + 3 K} = \frac{- 3}{- x^{3} + 3 x + 3 K}$

Этап 3.4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.2.1

Сократим общий множитель $- x^{3} + 3 x + 3 K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (- x^{3} + 3 x + 3 K)}{- x^{3} + 3 x + 3 K} = \frac{- 3}{- x^{3} + 3 x + 3 K}$

Этап 3.4.3.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- 3}{- x^{3} + 3 x + 3 K}$

Этап 3.4.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{3}{- x^{3} + 3 x + 3 K}$

Этап 3.4.3.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{3}$ .

$y = - \frac{3}{- (x^{3}) + 3 x + 3 K}$

Этап 3.4.3.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $3 x$ .

$y = - \frac{3}{- (x^{3}) - (- 3 x) + 3 K}$

Этап 3.4.3.3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{3}) - (- 3 x)$ .

$y = - \frac{3}{- (x^{3} - 3 x) + 3 K}$

Этап 3.4.3.3.5

Вынесем множитель $- 1$ из $3 K$ .

$y = - \frac{3}{- (x^{3} - 3 x) - (- 3 K)}$

Этап 3.4.3.3.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{3} - 3 x) - (- 3 K)$ .

$y = - \frac{3}{- (x^{3} - 3 x - 3 K)}$

Этап 3.4.3.3.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.3.7.1

Перепишем $- (x^{3} - 3 x - 3 K)$ в виде $- 1 (x^{3} - 3 x - 3 K)$ .

$y = - \frac{3}{- 1 (x^{3} - 3 x - 3 K)}$

Этап 3.4.3.3.7.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - - \frac{3}{x^{3} - 3 x - 3 K}$

Этап 3.4.3.3.7.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y = 1 \frac{3}{x^{3} - 3 x - 3 K}$

Этап 3.4.3.3.7.4

Умножим $\frac{3}{x^{3} - 3 x - 3 K}$ на $1$ .

$y = \frac{3}{x^{3} - 3 x - 3 K}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{3}{x^{3} - 3 x + K}$

Этап 5

Используем начальное условие, чтобы найти значение $K$ , подставив $3$ вместо $x$ и $1$ вместо $y$ в $y = \frac{3}{x^{3} - 3 x + K}$ .

$1 = \frac{3}{3^{3} - 3 \cdot 3 + K}$

Этап 6

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{3}{3^{3} - 3 \cdot 3 + K} = 1$ .

$\frac{3}{3^{3} - 3 \cdot 3 + K} = 1$

Этап 6.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Возведем $3$ в степень $3$ .

$\frac{3}{27 - 3 \cdot 3 + K} = 1$

Этап 6.2.2

Умножим $- 3$ на $3$ .

$\frac{3}{27 - 9 + K} = 1$

Этап 6.2.3

Вычтем $9$ из $27$ .

$\frac{3}{18 + K} = 1$

Этап 6.3

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$18 + K, 1$

Этап 6.3.2

Избавимся от скобок.

$18 + K, 1$

Этап 6.3.3

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$18 + K$

Этап 6.4

Каждый член в $\frac{3}{18 + K} = 1$ умножим на $18 + K$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Умножим каждый член $\frac{3}{18 + K} = 1$ на $18 + K$ .

$\frac{3}{18 + K} (18 + K) = 1 (18 + K)$

Этап 6.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Сократим общий множитель $18 + K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{18 + K} (18 + K) = 1 (18 + K)$

Этап 6.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$3 = 1 (18 + K)$

Этап 6.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.1

Умножим $18 + K$ на $1$ .

$3 = 18 + K$

Этап 6.5

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Перепишем уравнение в виде $18 + K = 3$ .

$18 + K = 3$

Этап 6.5.2

Перенесем все члены без $K$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Вычтем $18$ из обеих частей уравнения.

$K = 3 - 18$

Этап 6.5.2.2

Вычтем $18$ из $3$ .

$K = - 15$

Этап 7

Подставим $- 15$ вместо $K$ в $y = \frac{3}{x^{3} - 3 x + K}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Подставим $- 15$ вместо $K$ .

$y = \frac{3}{x^{3} - 3 x - 15}$