Математический анализ Примеры

$x (v^{2} - 1) d v + (v^{3} - 3 v) d x = 0$

Этап 1

Вычтем $(v^{3} - 3 v) d x$ из обеих частей уравнения.

$x (v^{2} - 1) d v = - (v^{3} - 3 v) d x$

Этап 2

Умножим обе части на $\frac{1}{x (v^{3} - 3 v)}$ .

$\frac{1}{x (v^{3} - 3 v)} (x (v^{2} - 1)) d v = \frac{1}{x (v^{3} - 3 v)} (- (v^{3} - 3 v)) d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{x (v^{3} - 3 v)} (x (v^{2} - 1)) d v = \frac{1}{x (v^{3} - 3 v)} (- (v^{3} - 3 v)) d x$

Этап 3.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{v^{3} - 3 v} (v^{2} - 1) d v = \frac{1}{x (v^{3} - 3 v)} (- (v^{3} - 3 v)) d x$

Этап 3.2

Вынесем множитель $v$ из $v^{3} - 3 v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем множитель $v$ из $v^{3}$ .

$\frac{1}{v \cdot v^{2} - 3 v} (v^{2} - 1) d v = \frac{1}{x (v^{3} - 3 v)} (- (v^{3} - 3 v)) d x$

Этап 3.2.2

Вынесем множитель $v$ из $- 3 v$ .

$\frac{1}{v \cdot v^{2} + v \cdot - 3} (v^{2} - 1) d v = \frac{1}{x (v^{3} - 3 v)} (- (v^{3} - 3 v)) d x$

Этап 3.2.3

Вынесем множитель $v$ из $v \cdot v^{2} + v \cdot - 3$ .

$\frac{1}{v (v^{2} - 3)} (v^{2} - 1) d v = \frac{1}{x (v^{3} - 3 v)} (- (v^{3} - 3 v)) d x$

Этап 3.3

Умножим $\frac{1}{v (v^{2} - 3)}$ на $v^{2} - 1$ .

$\frac{v^{2} - 1}{v (v^{2} - 3)} d v = \frac{1}{x (v^{3} - 3 v)} (- (v^{3} - 3 v)) d x$

Этап 3.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{v^{2} - 1^{2}}{v (v^{2} - 3)} d v = \frac{1}{x (v^{3} - 3 v)} (- (v^{3} - 3 v)) d x$

Этап 3.4.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = v$ и $b = 1$ .

$\frac{(v + 1) (v - 1)}{v (v^{2} - 3)} d v = \frac{1}{x (v^{3} - 3 v)} (- (v^{3} - 3 v)) d x$

Этап 3.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{(v + 1) (v - 1)}{v (v^{2} - 3)} d v = - \frac{1}{x (v^{3} - 3 v)} (v^{3} - 3 v) d x$

Этап 3.6

Сократим общий множитель $v^{3} - 3 v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{x (v^{3} - 3 v)}$ в числитель.

$\frac{(v + 1) (v - 1)}{v (v^{2} - 3)} d v = \frac{- 1}{x (v^{3} - 3 v)} (v^{3} - 3 v) d x$

Этап 3.6.2

Вынесем множитель $v^{3} - 3 v$ из $x (v^{3} - 3 v)$ .

$\frac{(v + 1) (v - 1)}{v (v^{2} - 3)} d v = \frac{- 1}{(v^{3} - 3 v) x} (v^{3} - 3 v) d x$

Этап 3.6.3

Сократим общий множитель.

$\frac{(v + 1) (v - 1)}{v (v^{2} - 3)} d v = \frac{- 1}{(v^{3} - 3 v) x} (v^{3} - 3 v) d x$

Этап 3.6.4

Перепишем это выражение.

$\frac{(v + 1) (v - 1)}{v (v^{2} - 3)} d v = \frac{- 1}{x} d x$

Этап 3.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{(v + 1) (v - 1)}{v (v^{2} - 3)} d v = - \frac{1}{x} d x$

Этап 4

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{(v + 1) (v - 1)}{v (v^{2} - 3)} d v = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 4.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку у множителя 2-й порядок, в числителе должно быть $2$ членов. Количество необходимых членов в числителе всегда равно порядку множителя в знаменателе.

$\frac{A}{v} + \frac{B v + C}{v^{2} - 3}$

Этап 4.2.1.1.2

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $v (v^{2} - 3)$ .

$\frac{(v + 1) (v - 1) (v (v^{2} - 3))}{v (v^{2} - 3)} = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

Этап 4.2.1.1.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.3.1

Сократим общий множитель $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(v + 1) (v - 1) (v (v^{2} - 3))}{v (v^{2} - 3)} = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

Этап 4.2.1.1.3.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(v + 1) (v - 1) (v^{2} - 3)}{v^{2} - 3} = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

Этап 4.2.1.1.3.2

Сократим общий множитель $v^{2} - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(v + 1) (v - 1) (v^{2} - 3)}{v^{2} - 3} = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

Этап 4.2.1.1.3.2.2

Разделим $(v + 1) (v - 1)$ на $1$ .

$(v + 1) (v - 1) = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

Этап 4.2.1.1.4

Развернем $(v + 1) (v - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$v (v - 1) + 1 (v - 1) = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

Этап 4.2.1.1.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$v \cdot v + v \cdot - 1 + 1 (v - 1) = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

Этап 4.2.1.1.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$v \cdot v + v \cdot - 1 + 1 v + 1 \cdot - 1 = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

Этап 4.2.1.1.5

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.5.1.1

Умножим $v$ на $v$ .

$v^{2} + v \cdot - 1 + 1 v + 1 \cdot - 1 = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

Этап 4.2.1.1.5.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $v$ .

$v^{2} - 1 \cdot v + 1 v + 1 \cdot - 1 = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

Этап 4.2.1.1.5.1.3

Перепишем $- 1 v$ в виде $- v$ .

$v^{2} - v + 1 v + 1 \cdot - 1 = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

Этап 4.2.1.1.5.1.4

Умножим $v$ на $1$ .

$v^{2} - v + v + 1 \cdot - 1 = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

Этап 4.2.1.1.5.1.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$v^{2} - v + v - 1 = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

Этап 4.2.1.1.5.2

Добавим $- v$ и $v$ .

$v^{2} + 0 - 1 = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

Этап 4.2.1.1.5.3

Добавим $v^{2}$ и $0$ .

$v^{2} - 1 = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

Этап 4.2.1.1.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.6.1

Сократим общий множитель $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.6.1.1

Сократим общий множитель.

$v^{2} - 1 = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

Этап 4.2.1.1.6.1.2

Разделим $A (v^{2} - 3)$ на $1$ .

$v^{2} - 1 = A (v^{2} - 3) + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

Этап 4.2.1.1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$v^{2} - 1 = A v^{2} + A \cdot - 3 + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

Этап 4.2.1.1.6.3

Перенесем $- 3$ влево от $A$ .

$v^{2} - 1 = A v^{2} - 3 \cdot A + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

Этап 4.2.1.1.6.4

Сократим общий множитель $v^{2} - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.6.4.1

Сократим общий множитель.

$v^{2} - 1 = A v^{2} - 3 A + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

Этап 4.2.1.1.6.4.2

Разделим $(B v + C) (v)$ на $1$ .

$v^{2} - 1 = A v^{2} - 3 A + (B v + C) (v)$

Этап 4.2.1.1.6.5

Применим свойство дистрибутивности.

$v^{2} - 1 = A v^{2} - 3 A + B v \cdot v + C v$

Этап 4.2.1.1.6.6

Умножим $v$ на $v$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.6.6.1

Перенесем $v$ .

$v^{2} - 1 = A v^{2} - 3 A + B (v \cdot v) + C v$

Этап 4.2.1.1.6.6.2

Умножим $v$ на $v$ .

$v^{2} - 1 = A v^{2} - 3 A + B v^{2} + C v$

Этап 4.2.1.1.7

Перенесем $- 3 A$ .

$v^{2} - 1 = A v^{2} + B v^{2} + C v - 3 A$

Этап 4.2.1.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $v^{2}$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = A + B$

Этап 4.2.1.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $v$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = C$

Этап 4.2.1.2.3

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $v$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$- 1 = - 3 A$

Этап 4.2.1.2.4

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$1 = A + B$

$0 = C$

$- 1 = - 3 A$

$1 = A + B$

$0 = C$

$- 1 = - 3 A$

Этап 4.2.1.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.3.1

Перепишем уравнение в виде $C = 0$ .

$C = 0$

$1 = A + B$

$- 1 = - 3 A$

Этап 4.2.1.3.2

Заменим все вхождения $C$ на $0$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.3.2.1

Перепишем уравнение в виде $- 3 A = - 1$ .

$- 3 A = - 1$

$C = 0$

$1 = A + B$

Этап 4.2.1.3.2.2

Разделим каждый член $- 3 A = - 1$ на $- 3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.3.2.2.1

Разделим каждый член $- 3 A = - 1$ на $- 3$ .

$\frac{- 3 A}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

$C = 0$

$1 = A + B$

Этап 4.2.1.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3 A}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

$C = 0$

$1 = A + B$

Этап 4.2.1.3.2.2.2.1.2

Разделим $A$ на $1$ .

$A = \frac{- 1}{- 3}$

$C = 0$

$1 = A + B$

$A = \frac{- 1}{- 3}$

$C = 0$

$1 = A + B$

$A = \frac{- 1}{- 3}$

$C = 0$

$1 = A + B$

Этап 4.2.1.3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.3.2.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$A = \frac{1}{3}$

$C = 0$

$1 = A + B$

$A = \frac{1}{3}$

$C = 0$

$1 = A + B$

$A = \frac{1}{3}$

$C = 0$

$1 = A + B$

$A = \frac{1}{3}$

$C = 0$

$1 = A + B$

Этап 4.2.1.3.3

Заменим все вхождения $A$ на $\frac{1}{3}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.3.3.1

Заменим все вхождения $A$ в $1 = A + B$ на $\frac{1}{3}$ .

$1 = (\frac{1}{3}) + B$

$A = \frac{1}{3}$

$C = 0$

Этап 4.2.1.3.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.3.3.2.1

Избавимся от скобок.

$1 = \frac{1}{3} + B$

$A = \frac{1}{3}$

$C = 0$

$1 = \frac{1}{3} + B$

$A = \frac{1}{3}$

$C = 0$

$1 = \frac{1}{3} + B$

$A = \frac{1}{3}$

$C = 0$

Этап 4.2.1.3.4

Решим относительно $B$ в $1 = \frac{1}{3} + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.3.4.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{1}{3} + B = 1$ .

$\frac{1}{3} + B = 1$

$A = \frac{1}{3}$

$C = 0$

Этап 4.2.1.3.4.2

Перенесем все члены без $B$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.3.4.2.1

Вычтем $\frac{1}{3}$ из обеих частей уравнения.

$B = 1 - \frac{1}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$C = 0$

Этап 4.2.1.3.4.2.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$B = \frac{3}{3} - \frac{1}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$C = 0$

Этап 4.2.1.3.4.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$B = \frac{3 - 1}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$C = 0$

Этап 4.2.1.3.4.2.4

Вычтем $1$ из $3$ .

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$C = 0$

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$C = 0$

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$C = 0$

Этап 4.2.1.3.5

Решим систему уравнений.

$B = \frac{2}{3} A = \frac{1}{3} C = 0$

Этап 4.2.1.3.6

Перечислим все решения.

$B = \frac{2}{3}, A = \frac{1}{3}, C = 0$

Этап 4.2.1.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{v} + \frac{B v + C}{v^{2} - 3}$ значениями, найденными для $A$ , $B$ и $C$ .

$\frac{\frac{1}{3}}{v} + \frac{\frac{2}{3 v} + 0}{v^{2} - 3}$

Этап 4.2.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.5.1

Избавимся от скобок.

$\frac{\frac{1}{3}}{v} + \frac{(\frac{2}{3}) v + 0}{v^{2} - 3}$

Этап 4.2.1.5.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.5.2.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и $v$ .

$\frac{\frac{1}{3}}{v} + \frac{\frac{2 v}{3} + 0}{v^{2} - 3}$

Этап 4.2.1.5.2.2

Добавим $\frac{2 v}{3}$ и $0$ .

$\frac{\frac{1}{3}}{v} + \frac{\frac{2 v}{3}}{v^{2} - 3}$

Этап 4.2.1.5.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{\frac{1}{3}}{v} + \frac{2 v}{3} \cdot \frac{1}{v^{2} - 3}$

Этап 4.2.1.5.4

Умножим $\frac{2 v}{3}$ на $\frac{1}{v^{2} - 3}$ .

$\frac{\frac{1}{3}}{v} + \frac{2 v}{3 (v^{2} - 3)}$

Этап 4.2.1.5.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{v} + \frac{2 v}{3 (v^{2} - 3)}$

Этап 4.2.1.5.6

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{1}{v}$ .

$\int \frac{1}{3 v} + \frac{2 v}{3 (v^{2} - 3)} d v = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 4.2.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{1}{3 v} d v + \int \frac{2 v}{3 (v^{2} - 3)} d v = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 4.2.3

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $v$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{v} d v + \int \frac{2 v}{3 (v^{2} - 3)} d v = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 4.2.4

Интеграл $\frac{1}{v}$ по $v$ имеет вид $\ln (| v |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| v |) + C_{1}) + \int \frac{2 v}{3 (v^{2} - 3)} d v = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 4.2.5

Поскольку $\frac{2}{3}$ — константа по отношению к $v$ , вынесем $\frac{2}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} (\ln (| v |) + C_{1}) + \frac{2}{3} \int \frac{v}{v^{2} - 3} d v = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 4.2.6

Пусть $u = v^{2} - 3$ . Тогда $d u = 2 v d v$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = v d v$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1

Пусть $u = v^{2} - 3$ . Найдем $\frac{d u}{d v}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1.1

Дифференцируем $v^{2} - 3$ .

$\frac{d}{d v} [v^{2} - 3]$

Этап 4.2.6.1.2

По правилу суммы производная $v^{2} - 3$ по $v$ имеет вид $\frac{d}{d v} [v^{2}] + \frac{d}{d v} [- 3]$ .

$\frac{d}{d v} [v^{2}] + \frac{d}{d v} [- 3]$

Этап 4.2.6.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ имеет вид $n v^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 v + \frac{d}{d v} [- 3]$

Этап 4.2.6.1.4

Поскольку $- 3$ является константой относительно $v$ , производная $- 3$ относительно $v$ равна $0$ .

$2 v + 0$

Этап 4.2.6.1.5

Добавим $2 v$ и $0$ .

$2 v$

Этап 4.2.6.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| v |) + C_{1}) + \frac{2}{3} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 4.2.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.1

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| v |) + C_{1}) + \frac{2}{3} \int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 4.2.7.2

Перенесем $2$ влево от $u$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| v |) + C_{1}) + \frac{2}{3} \int \frac{1}{2 u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 4.2.8

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} (\ln (| v |) + C_{1}) + \frac{2}{3} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 4.2.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.9.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| v |) + C_{1}) + \frac{2}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 4.2.9.2

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| v |) + C_{1}) + \frac{2}{6} \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 4.2.9.3

Сократим общий множитель $2$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.9.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| v |) + C_{1}) + \frac{2 (1)}{6} \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 4.2.9.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.9.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| v |) + C_{1}) + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 4.2.9.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{3} (\ln (| v |) + C_{1}) + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 4.2.9.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{3} (\ln (| v |) + C_{1}) + \frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 4.2.10

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| v |) + C_{1}) + \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{2}) = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 4.2.11

Упростим.

$\frac{1}{3} \ln (| v |) + \frac{1}{3} \ln (| u |) + C_{3} = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 4.2.12

Заменим все вхождения $u$ на $v^{2} - 3$ .

$\frac{1}{3} \ln (| v |) + \frac{1}{3} \ln (| v^{2} - 3 |) + C_{3} = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 4.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} \ln (| v |) + \frac{1}{3} \ln (| v^{2} - 3 |) + C_{3} = - \int \frac{1}{x} d x$

Этап 4.3.2

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{3} \ln (| v |) + \frac{1}{3} \ln (| v^{2} - 3 |) + C_{3} = - (\ln (| x |) + C_{4})$

Этап 4.3.3

Упростим.

$\frac{1}{3} \ln (| v |) + \frac{1}{3} \ln (| v^{2} - 3 |) + C_{3} = - \ln (| x |) + C_{4}$

Этап 4.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\frac{1}{3} \ln (| v |) + \frac{1}{3} \ln (| v^{2} - 3 |) = - \ln (| x |) + C$