Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 (3 - y)}{{(1 - x)}^{2}}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{3 - y}$ .

$\frac{1}{3 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 - y} \cdot \frac{4 (3 - y)}{{(1 - x)}^{2}}$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $3 - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $3 - y$ из $4 (3 - y)$ .

$\frac{1}{3 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 - y} \cdot \frac{(3 - y) \cdot 4}{{(1 - x)}^{2}}$

Этап 1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{3 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 - y} \cdot \frac{(3 - y) \cdot 4}{{(1 - x)}^{2}}$

Этап 1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{3 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{4}{{(1 - x)}^{2}}$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{3 - y} d y = \frac{4}{{(1 - x)}^{2}} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{3 - y} d y = \int \frac{4}{{(1 - x)}^{2}} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть $u_{1} = 3 - y$ . Тогда $d u_{1} = - d y$ , следовательно $- d u_{1} = d y$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Пусть $u_{1} = 3 - y$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Перепишем.

$\frac{- 1}{1}$

Этап 2.2.1.1.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 2.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int \frac{- 1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{4}{{(1 - x)}^{2}} d x$

Этап 2.2.2

Разделим дробь на несколько дробей.

$\int - \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{4}{{(1 - x)}^{2}} d x$

Этап 2.2.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{4}{{(1 - x)}^{2}} d x$

Этап 2.2.4

Интеграл $\frac{1}{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $\ln (| u_{1} |)$ .

$- (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{4}{{(1 - x)}^{2}} d x$

Этап 2.2.5

Упростим.

$- \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{4}{{(1 - x)}^{2}} d x$

Этап 2.2.6

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $3 - y$ .

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = \int \frac{4}{{(1 - x)}^{2}} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = 4 \int \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} d x$

Этап 2.3.2

Пусть $u_{2} = 1 - x$ . Тогда $d u_{2} = - d x$ , следовательно $- d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Пусть $u_{2} = 1 - x$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Перепишем.

$\frac{- 1}{1}$

Этап 2.3.2.1.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 2.3.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = 4 \int \frac{- 1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Этап 2.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = 4 \int - \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Этап 2.3.4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = 4 (- \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2})$

Этап 2.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = - 4 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Этап 2.3.5.2

Вынесем ${u_{2}}^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = - 4 \int {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

Этап 2.3.5.3

Перемножим экспоненты в ${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = - 4 \int {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

Этап 2.3.5.3.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = - 4 \int {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

Этап 2.3.6

По правилу степени интеграл ${u_{2}}^{- 2}$ по $u_{2}$ имеет вид $- {u_{2}}^{- 1}$ .

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = - 4 (- {u_{2}}^{- 1} + C_{2})$

Этап 2.3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Перепишем $- 4 (- {u_{2}}^{- 1} + C_{2})$ в виде $- 4 (- \frac{1}{u_{2}}) + C_{2}$ .

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = - 4 (- \frac{1}{u_{2}}) + C_{2}$

Этап 2.3.7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.2.1

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = 4 \frac{1}{u_{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.7.2.2

Объединим $4$ и $\frac{1}{u_{2}}$ .

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = \frac{4}{u_{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.8

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $1 - x$ .

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = \frac{4}{1 - x} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$- \ln (| 3 - y |) = \frac{4}{1 - x} + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член $- \ln (| 3 - y |) = \frac{4}{1 - x} + C$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Разделим каждый член $- \ln (| 3 - y |) = \frac{4}{1 - x} + C$ на $- 1$ .

$\frac{- \ln (| 3 - y |)}{- 1} = \frac{\frac{4}{1 - x}}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Этап 3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\ln (| 3 - y |)}{1} = \frac{\frac{4}{1 - x}}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Этап 3.1.2.2

Разделим $\ln (| 3 - y |)$ на $1$ .

$\ln (| 3 - y |) = \frac{\frac{4}{1 - x}}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Этап 3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\ln (| 3 - y |) = \frac{\frac{4}{1 - x} + C}{- 1}$

Этап 3.1.3.2

Чтобы записать $C$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{1 - x}{1 - x}$ .

$\ln (| 3 - y |) = \frac{\frac{4}{1 - x} + \frac{C (1 - x)}{1 - x}}{- 1}$

Этап 3.1.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\ln (| 3 - y |) = \frac{\frac{4 + C (1 - x)}{1 - x}}{- 1}$

Этап 3.1.3.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (| 3 - y |) = \frac{\frac{4 + C \cdot 1 + C (- x)}{1 - x}}{- 1}$

Этап 3.1.3.4.2

Умножим $C$ на $1$ .

$\ln (| 3 - y |) = \frac{\frac{4 + C + C (- x)}{1 - x}}{- 1}$

Этап 3.1.3.4.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\ln (| 3 - y |) = \frac{\frac{4 + C - C x}{1 - x}}{- 1}$

Этап 3.1.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.5.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\frac{4 + C - C x}{1 - x}}{- 1}$ .

$\ln (| 3 - y |) = - 1 \cdot \frac{4 + C - C x}{1 - x}$

Этап 3.1.3.5.2

Перепишем $- 1 \cdot \frac{4 + C - C x}{1 - x}$ в виде $- \frac{4 + C - C x}{1 - x}$ .

$\ln (| 3 - y |) = - \frac{4 + C - C x}{1 - x}$

Этап 3.2

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| 3 - y |)} = e^{- \frac{4 + C - C x}{1 - x}}$

Этап 3.3

Перепишем $\ln (| 3 - y |) = - \frac{4 + C - C x}{1 - x}$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{4 + C - C x}{1 - x}} = | 3 - y |$

Этап 3.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем уравнение в виде $| 3 - y | = e^{- \frac{4 + C - C x}{1 - x}}$ .

$| 3 - y | = e^{- \frac{4 + C - C x}{1 - x}}$

Этап 3.4.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$3 - y = \pm e^{- \frac{4 + C - C x}{1 - x}}$

Этап 3.4.3

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$- y = \pm e^{- \frac{4 + C - C x}{1 - x}} - 3$

Этап 3.4.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.2.1

Разобьем дробь $\frac{4 + C - C x}{1 - x}$ на две дроби.

$- y = \pm e^{- (\frac{4 + C}{1 - x} + \frac{- C x}{1 - x})} - 3$

Этап 3.4.3.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.2.2.1

Разобьем дробь $\frac{4 + C}{1 - x}$ на две дроби.

$- y = \pm e^{- (\frac{4}{1 - x} + \frac{C}{1 - x} + \frac{- C x}{1 - x})} - 3$

Этап 3.4.3.2.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- y = \pm e^{- (\frac{4}{1 - x} + \frac{C}{1 - x} - \frac{C x}{1 - x})} - 3$

Этап 3.4.3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- y = \pm e^{- \frac{4}{1 - x} - \frac{C}{1 - x} - - \frac{C x}{1 - x}} - 3$

Этап 3.4.3.2.4

Умножим $- - \frac{C x}{1 - x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.2.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- y = \pm e^{- \frac{4}{1 - x} - \frac{C}{1 - x} + 1 \frac{C x}{1 - x}} - 3$

Этап 3.4.3.2.4.2

Умножим $\frac{C x}{1 - x}$ на $1$ .

$- y = \pm e^{- \frac{4}{1 - x} - \frac{C}{1 - x} + \frac{C x}{1 - x}} - 3$

Этап 3.4.4

Разделим каждый член $- y = \pm e^{- \frac{4}{1 - x} - \frac{C}{1 - x} + \frac{C x}{1 - x}} - 3$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Разделим каждый член $- y = \pm e^{- \frac{4}{1 - x} - \frac{C}{1 - x} + \frac{C x}{1 - x}} - 3$ на $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\pm e^{- \frac{4}{1 - x} - \frac{C}{1 - x} + \frac{C x}{1 - x}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Этап 3.4.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{y}{1} = \frac{\pm e^{- \frac{4}{1 - x} - \frac{C}{1 - x} + \frac{C x}{1 - x}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Этап 3.4.4.2.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\pm e^{- \frac{4}{1 - x} - \frac{C}{1 - x} + \frac{C x}{1 - x}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Этап 3.4.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.3.1

Чтобы записать $\frac{\pm e^{- \frac{4}{1 - x} - \frac{C}{1 - x} + \frac{C x}{1 - x}}}{- 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{\pm e^{- \frac{4}{1 - x} - \frac{C}{1 - x} + \frac{C x}{1 - x}}}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Этап 3.4.4.3.2

Чтобы записать $\frac{- 3}{- 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{\pm e^{- \frac{4}{1 - x} - \frac{C}{1 - x} + \frac{C x}{1 - x}}}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1} + \frac{- 3}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Этап 3.4.4.3.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $1$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.3.3.1

Умножим $\frac{\pm e^{- \frac{4}{1 - x} - \frac{C}{1 - x} + \frac{C x}{1 - x}}}{- 1}$ на $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{(\pm e^{- \frac{4}{1 - x} - \frac{C}{1 - x} + \frac{C x}{1 - x}}) \cdot - 1}{- - 1} + \frac{- 3}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Этап 3.4.4.3.3.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y = \frac{(\pm e^{- \frac{4}{1 - x} - \frac{C}{1 - x} + \frac{C x}{1 - x}}) \cdot - 1}{1} + \frac{- 3}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Этап 3.4.4.3.3.3

Умножим $\frac{- 3}{- 1}$ на $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{(\pm e^{- \frac{4}{1 - x} - \frac{C}{1 - x} + \frac{C x}{1 - x}}) \cdot - 1}{1} + \frac{- 3 \cdot - 1}{- - 1}$

Этап 3.4.4.3.3.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y = \frac{(\pm e^{- \frac{4}{1 - x} - \frac{C}{1 - x} + \frac{C x}{1 - x}}) \cdot - 1}{1} + \frac{- 3 \cdot - 1}{1}$

Этап 3.4.4.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{(\pm e^{- \frac{4}{1 - x} - \frac{C}{1 - x} + \frac{C x}{1 - x}}) \cdot - 1 - 3 \cdot - 1}{1}$

Этап 3.4.4.3.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.3.5.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{(\pm e^{\frac{- 4 - C}{1 - x} + \frac{C x}{1 - x}}) \cdot - 1 - 3 \cdot - 1}{1}$

Этап 3.4.4.3.5.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{(\pm e^{\frac{- 4 - C + C x}{1 - x}}) \cdot - 1 - 3 \cdot - 1}{1}$

Этап 3.4.4.3.5.3

Перенесем $- 1$ влево от $\pm e^{\frac{- 4 - C + C x}{1 - x}}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot (\pm e^{\frac{- 4 - C + C x}{1 - x}}) - 3 \cdot - 1}{1}$

Этап 3.4.4.3.5.4

Перепишем $- 1 (\pm e^{\frac{- 4 - C + C x}{1 - x}})$ в виде $- (\pm e^{\frac{- 4 - C + C x}{1 - x}})$ .

$y = \frac{- (\pm e^{\frac{- 4 - C + C x}{1 - x}}) - 3 \cdot - 1}{1}$

Этап 3.4.4.3.5.5

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$y = \frac{- (\pm e^{\frac{- 4 - C + C x}{1 - x}}) + 3}{1}$

Этап 3.4.4.3.6

Разделим $- (\pm e^{\frac{- 4 - C + C x}{1 - x}}) + 3$ на $1$ .

$y = - (\pm e^{\frac{- 4 - C + C x}{1 - x}}) + 3$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = - (\pm e^{\frac{C + C x}{1 - x}}) + 3$