Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = y^{\frac{2}{3}}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} y^{\frac{2}{3}}$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $y^{\frac{2}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} y^{\frac{2}{3}}$

Этап 1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} \frac{d y}{d x} = 1$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} d y = 1 d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} d y = \int d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем $y^{\frac{2}{3}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int {(y^{\frac{2}{3}})}^{- 1} d y = \int d x$

Этап 2.2.1.2

Перемножим экспоненты в ${(y^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{\frac{2}{3} \cdot - 1} d y = \int d x$

Этап 2.2.1.2.2

Умножим $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.2.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и $- 1$ .

$\int y^{\frac{2 \cdot - 1}{3}} d y = \int d x$

Этап 2.2.1.2.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int y^{\frac{- 2}{3}} d y = \int d x$

Этап 2.2.1.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int y^{- \frac{2}{3}} d y = \int d x$

Этап 2.2.2

По правилу степени интеграл $y^{- \frac{2}{3}}$ по $y$ имеет вид $3 y^{\frac{1}{3}}$ .

$3 y^{\frac{1}{3}} + C_{1} = \int d x$

Этап 2.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$3 y^{\frac{1}{3}} + C_{1} = x + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$3 y^{\frac{1}{3}} = x + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член $3 y^{\frac{1}{3}} = x + K$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Разделим каждый член $3 y^{\frac{1}{3}} = x + K$ на $3$ .

$\frac{3 y^{\frac{1}{3}}}{3} = \frac{x}{3} + \frac{K}{3}$

Этап 3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 y^{\frac{1}{3}}}{3} = \frac{x}{3} + \frac{K}{3}$

Этап 3.1.2.2

Разделим $y^{\frac{1}{3}}$ на $1$ .

$y^{\frac{1}{3}} = \frac{x}{3} + \frac{K}{3}$

Этап 3.2

Возведем обе части уравнения в степень $3$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(\frac{x}{3} + \frac{K}{3})}^{3}$

Этап 3.3

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Упростим ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{x}{3} + \frac{K}{3})}^{3}$

Этап 3.3.1.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{x}{3} + \frac{K}{3})}^{3}$

Этап 3.3.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{1} = {(\frac{x}{3} + \frac{K}{3})}^{3}$

Этап 3.3.1.1.2

Упростим.

$y = {(\frac{x}{3} + \frac{K}{3})}^{3}$

Этап 3.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим ${(\frac{x}{3} + \frac{K}{3})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$y = {(\frac{x}{3})}^{3} + 3 {(\frac{x}{3})}^{2} \frac{K}{3} + 3 \frac{x}{3} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Этап 3.3.2.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.2.1

Применим правило умножения к $\frac{x}{3}$ .

$y = \frac{x^{3}}{3^{3}} + 3 {(\frac{x}{3})}^{2} \frac{K}{3} + 3 \frac{x}{3} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Этап 3.3.2.1.2.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$y = \frac{x^{3}}{27} + 3 {(\frac{x}{3})}^{2} \frac{K}{3} + 3 \frac{x}{3} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Этап 3.3.2.1.2.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.2.3.1

Вынесем множитель $3$ из $3 {(\frac{x}{3})}^{2}$ .

$y = \frac{x^{3}}{27} + 3 ({(\frac{x}{3})}^{2}) \frac{K}{3} + 3 \frac{x}{3} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Этап 3.3.2.1.2.3.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{x^{3}}{27} + 3 {(\frac{x}{3})}^{2} \frac{K}{3} + 3 \frac{x}{3} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Этап 3.3.2.1.2.3.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{x^{3}}{27} + {(\frac{x}{3})}^{2} K + 3 \frac{x}{3} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Этап 3.3.2.1.2.4

Применим правило умножения к $\frac{x}{3}$ .

$y = \frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2}}{3^{2}} K + 3 \frac{x}{3} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Этап 3.3.2.1.2.5

Возведем $3$ в степень $2$ .

$y = \frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2}}{9} K + 3 \frac{x}{3} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Этап 3.3.2.1.2.6

Объединим $\frac{x^{2}}{9}$ и $K$ .

$y = \frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} K}{9} + 3 \frac{x}{3} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Этап 3.3.2.1.2.7

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.2.7.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} K}{9} + 3 \frac{x}{3} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Этап 3.3.2.1.2.7.2

Перепишем это выражение.

$y = \frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} K}{9} + x {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Этап 3.3.2.1.2.8

Применим правило умножения к $\frac{K}{3}$ .

$y = \frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} K}{9} + x \frac{K^{2}}{3^{2}} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Этап 3.3.2.1.2.9

Возведем $3$ в степень $2$ .

$y = \frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} K}{9} + x \frac{K^{2}}{9} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Этап 3.3.2.1.2.10

Объединим $x$ и $\frac{K^{2}}{9}$ .

$y = \frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} K}{9} + \frac{x K^{2}}{9} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Этап 3.3.2.1.2.11

Применим правило умножения к $\frac{K}{3}$ .

$y = \frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} K}{9} + \frac{x K^{2}}{9} + \frac{K^{3}}{3^{3}}$

Этап 3.3.2.1.2.12

Возведем $3$ в степень $3$ .

$y = \frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} K}{9} + \frac{x K^{2}}{9} + \frac{K^{3}}{27}$

Этап 3.4

Упростим $\frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} K}{9} + \frac{x K^{2}}{9} + \frac{K^{3}}{27}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Изменим порядок $x^{2}$ и $K$ .

$y = \frac{x^{3}}{27} + \frac{K x^{2}}{9} + \frac{x K^{2}}{9} + \frac{K^{3}}{27}$

Этап 3.4.2

Изменим порядок $x$ и $K^{2}$ .

$y = \frac{x^{3}}{27} + \frac{K x^{2}}{9} + \frac{K^{2} x}{9} + \frac{K^{3}}{27}$

Этап 3.4.3

Перенесем $\frac{x^{3}}{27}$ .

$y = \frac{K x^{2}}{9} + \frac{K^{2} x}{9} + \frac{K^{3}}{27} + \frac{x^{3}}{27}$

Этап 3.4.4

Перенесем $\frac{K x^{2}}{9}$ .

$y = \frac{K^{2} x}{9} + \frac{K^{3}}{27} + \frac{K x^{2}}{9} + \frac{x^{3}}{27}$

Этап 3.4.5

Изменим порядок $\frac{K^{2} x}{9}$ и $\frac{K^{3}}{27}$ .

$y = \frac{K^{3}}{27} + \frac{K^{2} x}{9} + \frac{K x^{2}}{9} + \frac{x^{3}}{27}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = K + \frac{K x}{9} + \frac{K x^{2}}{9} + \frac{x^{3}}{27}$