Математический анализ Примеры

$(1 - x^{2}) \frac{d y}{d x} + x y = 3 x$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Решим относительно $\frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$1 \frac{d y}{d x} - x^{2} \frac{d y}{d x} + x y = 3 x$

Этап 1.1.1.2

Умножим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} - x^{2} \frac{d y}{d x} + x y = 3 x$

Этап 1.1.2

Вычтем $x y$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d y}{d x} - x^{2} \frac{d y}{d x} = 3 x - x y$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $\frac{d y}{d x}$ из $\frac{d y}{d x} - x^{2} \frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вынесем множитель $\frac{d y}{d x}$ из ${(\frac{d y}{d x})}^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} \cdot 1 - x^{2} \frac{d y}{d x} = 3 x - x y$

Этап 1.1.3.2

Вынесем множитель $\frac{d y}{d x}$ из $- x^{2} \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} \cdot 1 + \frac{d y}{d x} (- x^{2}) = 3 x - x y$

Этап 1.1.3.3

Вынесем множитель $\frac{d y}{d x}$ из $\frac{d y}{d x} \cdot 1 + \frac{d y}{d x} (- x^{2})$ .

$\frac{d y}{d x} (1 - x^{2}) = 3 x - x y$

Этап 1.1.4

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} (1^{2} - x^{2}) = 3 x - x y$

Этап 1.1.5

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = x$ .

$\frac{d y}{d x} ((1 + x) (1 - x)) = 3 x - x y$

Этап 1.1.5.2

Избавимся от ненужных скобок.

$\frac{d y}{d x} (1 + x) (1 - x) = 3 x - x y$

Этап 1.1.6

Разделим каждый член $\frac{d y}{d x} (1 + x) (1 - x) = 3 x - x y$ на $(1 + x) (1 - x)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.1

Разделим каждый член $\frac{d y}{d x} (1 + x) (1 - x) = 3 x - x y$ на $(1 + x) (1 - x)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)} = \frac{3 x}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{- x y}{(1 + x) (1 - x)}$

Этап 1.1.6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.2.1

Сократим общий множитель $1 + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{d y}{d x} (1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)} = \frac{3 x}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{- x y}{(1 + x) (1 - x)}$

Этап 1.1.6.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{d y}{d x} (1 - x)}{1 - x} = \frac{3 x}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{- x y}{(1 + x) (1 - x)}$

Этап 1.1.6.2.2

Сократим общий множитель $1 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{d y}{d x} (1 - x)}{1 - x} = \frac{3 x}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{- x y}{(1 + x) (1 - x)}$

Этап 1.1.6.2.2.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{- x y}{(1 + x) (1 - x)}$

Этап 1.1.6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{(1 + x) (1 - x)} - \frac{x y}{(1 + x) (1 - x)}$

Этап 1.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x - x y}{(1 + x) (1 - x)}$

Этап 1.2.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $3 x - x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1

Вынесем множитель $x$ из $3 x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 3 - x y}{(1 + x) (1 - x)}$

Этап 1.2.2.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 3 + x (- 1 y)}{(1 + x) (1 - x)}$

Этап 1.2.2.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot 3 + x (- 1 y)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot (3 - 1 y)}{(1 + x) (1 - x)}$

Этап 1.2.2.1.4

Умножим $x$ на $3 - 1 y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (3 - 1 y)}{(1 + x) (1 - x)}$

Этап 1.2.2.2

Перепишем $- 1 y$ в виде $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (3 - y)}{(1 + x) (1 - x)}$

Этап 1.3

Перегруппируем множители.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} (3 - y)$

Этап 1.4

Умножим обе части на $\frac{1}{3 - y}$ .

$\frac{1}{3 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 - y} (\frac{x}{(1 + x) (1 - x)} (3 - y))$

Этап 1.5

Сократим общий множитель $3 - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Вынесем множитель $3 - y$ из $\frac{x}{(1 + x) (1 - x)} (3 - y)$ .

$\frac{1}{3 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 - y} ((3 - y) \frac{x}{(1 + x) (1 - x)})$

Этап 1.5.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{3 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 - y} ((3 - y) \frac{x}{(1 + x) (1 - x)})$

Этап 1.5.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{3 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{(1 + x) (1 - x)}$

Этап 1.6

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{3 - y} d y = \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{3 - y} d y = \int \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть $u_{1} = 3 - y$ . Тогда $d u_{1} = - d y$ , следовательно $- d u_{1} = d y$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Пусть $u_{1} = 3 - y$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Перепишем.

$\frac{- 1}{1}$

Этап 2.2.1.1.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 2.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int \frac{- 1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Этап 2.2.2

Разделим дробь на несколько дробей.

$\int - \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Этап 2.2.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Этап 2.2.4

Интеграл $\frac{1}{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $\ln (| u_{1} |)$ .

$- (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Этап 2.2.5

Упростим.

$- \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Этап 2.2.6

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $3 - y$ .

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = \int \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Пусть $u_{2} = (1 + x) (1 - x)$ . Тогда $d u_{2} = - 2 x d x$ , следовательно $- \frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Пусть $u_{2} = (1 + x) (1 - x)$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Дифференцируем $(1 + x) (1 - x)$ .

$\frac{d}{d x} [(1 + x) (1 - x)]$

Этап 2.3.1.1.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = 1 + x$ и $g (x) = 1 - x$ .

$(1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x] + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Этап 2.3.1.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.3.1

По правилу суммы производная $1 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$(1 + x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]) + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Этап 2.3.1.1.3.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$(1 + x) (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Этап 2.3.1.1.3.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$(1 + x) \frac{d}{d x} [- x] + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Этап 2.3.1.1.3.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$(1 + x) (- \frac{d}{d x} [x]) + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Этап 2.3.1.1.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(1 + x) (- 1 \cdot 1) + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Этап 2.3.1.1.3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.3.6.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$(1 + x) \cdot - 1 + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Этап 2.3.1.1.3.6.2

Перенесем $- 1$ влево от $1 + x$ .

$- 1 \cdot (1 + x) + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Этап 2.3.1.1.3.6.3

Перепишем $- 1 (1 + x)$ в виде $- (1 + x)$ .

$- (1 + x) + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Этап 2.3.1.1.3.7

По правилу суммы производная $1 + x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (1 + x) + (1 - x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.3.1.1.3.8

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$- (1 + x) + (1 - x) (0 + \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.3.1.1.3.9

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [x]$ .

$- (1 + x) + (1 - x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.1.1.3.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- (1 + x) + (1 - x) \cdot 1$

Этап 2.3.1.1.3.11

Умножим $1 - x$ на $1$ .

$- (1 + x) + 1 - x$

Этап 2.3.1.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 1 \cdot 1 - x + 1 - x$

Этап 2.3.1.1.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.4.2.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1 - x + 1 - x$

Этап 2.3.1.1.4.2.2

Добавим $- 1$ и $1$ .

$- x + 0 - x$

Этап 2.3.1.1.4.2.3

Добавим $- x$ и $0$ .

$- x - x$

Этап 2.3.1.1.4.2.4

Вычтем $x$ из $- x$ .

$- 2 x$

Этап 2.3.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Этап 2.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Этап 2.3.2.2

Умножим $\frac{1}{u_{2}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Этап 2.3.2.3

Перенесем $2$ влево от $u_{2}$ .

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Этап 2.3.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Этап 2.3.4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Этап 2.3.5

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Этап 2.3.6

Упростим.

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Этап 2.3.7

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $(1 + x) (1 - x)$ .

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$- \ln (| 3 - y |) = - \frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Объединим $\ln (| (1 + x) (1 - x) |)$ и $\frac{1}{2}$ .

$- \ln (| 3 - y |) = - \frac{\ln (| (1 + x) (1 - x) |)}{2} + C$

Этап 3.2

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$- \ln (| 3 - y |) + \frac{\ln (| (1 + x) (1 - x) |)}{2} = C$

Этап 3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Развернем $(1 + x) (1 - x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- \ln (| 3 - y |) + \frac{\ln (| 1 (1 - x) + x (1 - x) |)}{2} = C$

Этап 3.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- \ln (| 3 - y |) + \frac{\ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x) |)}{2} = C$

Этап 3.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- \ln (| 3 - y |) + \frac{\ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) |)}{2} = C$

Этап 3.3.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$- \ln (| 3 - y |) + \frac{\ln (| 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) |)}{2} = C$

Этап 3.3.2.1.2

Умножим $- x$ на $1$ .

$- \ln (| 3 - y |) + \frac{\ln (| 1 - x + x \cdot 1 + x (- x) |)}{2} = C$

Этап 3.3.2.1.3

Умножим $x$ на $1$ .

$- \ln (| 3 - y |) + \frac{\ln (| 1 - x + x + x (- x) |)}{2} = C$

Этап 3.3.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- \ln (| 3 - y |) + \frac{\ln (| 1 - x + x - x \cdot x |)}{2} = C$

Этап 3.3.2.1.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.5.1

Перенесем $x$ .

$- \ln (| 3 - y |) + \frac{\ln (| 1 - x + x - (x \cdot x) |)}{2} = C$

Этап 3.3.2.1.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$- \ln (| 3 - y |) + \frac{\ln (| 1 - x + x - x^{2} |)}{2} = C$

Этап 3.3.2.2

Добавим $- x$ и $x$ .

$- \ln (| 3 - y |) + \frac{\ln (| 1 + 0 - x^{2} |)}{2} = C$

Этап 3.3.2.3

Добавим $1$ и $0$ .

$- \ln (| 3 - y |) + \frac{\ln (| 1 - x^{2} |)}{2} = C$

Этап 3.4

Чтобы записать $- \ln (| 3 - y |)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \ln (| 3 - y |) \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (| 1 - x^{2} |)}{2} = C$

Этап 3.5

Объединим $- \ln (| 3 - y |)$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- \ln (| 3 - y |) \cdot 2}{2} + \frac{\ln (| 1 - x^{2} |)}{2} = C$

Этап 3.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- \ln (| 3 - y |) \cdot 2 + \ln (| 1 - x^{2} |)}{2} = C$

Этап 3.7

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{- 2 \ln (| 3 - y |) + \ln (| 1 - x^{2} |)}{2} = C$

Этап 3.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 \ln (| 3 - y |)$ .

$\frac{- (2 \ln (| 3 - y |)) + \ln (| 1 - x^{2} |)}{2} = C$

Этап 3.9

Вынесем множитель $- 1$ из $\ln (| 1 - x^{2} |)$ .

$\frac{- (2 \ln (| 3 - y |)) - 1 (- \ln (| 1 - x^{2} |))}{2} = C$

Этап 3.10

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 \ln (| 3 - y |)) - 1 (- \ln (| 1 - x^{2} |))$ .

$\frac{- (2 \ln (| 3 - y |) - \ln (| 1 - x^{2} |))}{2} = C$

Этап 3.11

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1

Перепишем $- (2 \ln (| 3 - y |) - \ln (| 1 - x^{2} |))$ в виде $- 1 (2 \ln (| 3 - y |) - \ln (| 1 - x^{2} |))$ .

$\frac{- 1 (2 \ln (| 3 - y |) - \ln (| 1 - x^{2} |))}{2} = C$

Этап 3.11.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2 \ln (| 3 - y |) - \ln (| 1 - x^{2} |)}{2} = C$

Этап 3.12

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.1

Упростим $- \frac{2 \ln (| 3 - y |) - \ln (| 1 - x^{2} |)}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.1.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.1.1.1

Упростим $2 \ln (| 3 - y |)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$- \frac{\ln ({| 3 - y |}^{2}) - \ln (| 1 - x^{2} |)}{2} = C$

Этап 3.12.1.1.2

Уберем знак модуля в ${| 3 - y |}^{2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$- \frac{\ln ({(3 - y)}^{2}) - \ln (| 1 - x^{2} |)}{2} = C$

Этап 3.12.1.1.3

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \frac{\ln (\frac{{(3 - y)}^{2}}{| 1 - x^{2} |})}{2} = C$

Этап 3.12.1.1.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.1.1.4.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$- \frac{\ln (\frac{{(3 - y)}^{2}}{| 1^{2} - x^{2} |})}{2} = C$

Этап 3.12.1.1.4.2

$- \frac{\ln (\frac{{(3 - y)}^{2}}{| (1 + x) (1 - x) |})}{2} = C$

Этап 3.12.1.1.4.3

Развернем $(1 + x) (1 - x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.1.1.4.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{\ln (\frac{{(3 - y)}^{2}}{| 1 (1 - x) + x (1 - x) |})}{2} = C$

Этап 3.12.1.1.4.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{\ln (\frac{{(3 - y)}^{2}}{| 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x) |})}{2} = C$

Этап 3.12.1.1.4.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{\ln (\frac{{(3 - y)}^{2}}{| 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) |})}{2} = C$

Этап 3.12.1.1.4.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.1.1.4.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.1.1.4.4.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$- \frac{\ln (\frac{{(3 - y)}^{2}}{| 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) |})}{2} = C$

Этап 3.12.1.1.4.4.1.2

Умножим $- x$ на $1$ .

$- \frac{\ln (\frac{{(3 - y)}^{2}}{| 1 - x + x \cdot 1 + x (- x) |})}{2} = C$

Этап 3.12.1.1.4.4.1.3

Умножим $x$ на $1$ .

$- \frac{\ln (\frac{{(3 - y)}^{2}}{| 1 - x + x + x (- x) |})}{2} = C$

Этап 3.12.1.1.4.4.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- \frac{\ln (\frac{{(3 - y)}^{2}}{| 1 - x + x - x \cdot x |})}{2} = C$

Этап 3.12.1.1.4.4.1.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.1.1.4.4.1.5.1

Перенесем $x$ .

$- \frac{\ln (\frac{{(3 - y)}^{2}}{| 1 - x + x - (x \cdot x) |})}{2} = C$

Этап 3.12.1.1.4.4.1.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$- \frac{\ln (\frac{{(3 - y)}^{2}}{| 1 - x + x - x^{2} |})}{2} = C$

Этап 3.12.1.1.4.4.2

Добавим $- x$ и $x$ .

$- \frac{\ln (\frac{{(3 - y)}^{2}}{| 1 + 0 - x^{2} |})}{2} = C$

Этап 3.12.1.1.4.4.3

Добавим $1$ и $0$ .

$- \frac{\ln (\frac{{(3 - y)}^{2}}{| 1 - x^{2} |})}{2} = C$

Этап 3.12.1.1.4.5

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$- \frac{\ln (\frac{{(3 - y)}^{2}}{| 1^{2} - x^{2} |})}{2} = C$

Этап 3.12.1.1.4.6

$- \frac{\ln (\frac{{(3 - y)}^{2}}{| (1 + x) (1 - x) |})}{2} = C$

Этап 3.12.1.2

Перепишем $\frac{\ln (\frac{{(3 - y)}^{2}}{| (1 + x) (1 - x) |})}{2}$ в виде $\frac{1}{2} \ln (\frac{{(3 - y)}^{2}}{| (1 + x) (1 - x) |})$ .

$- (\frac{1}{2} \ln (\frac{{(3 - y)}^{2}}{| (1 + x) (1 - x) |})) = C$

Этап 3.12.1.3

Упростим $\frac{1}{2} \ln (\frac{{(3 - y)}^{2}}{| (1 + x) (1 - x) |})$ путем переноса $\frac{1}{2}$ под логарифм.

$- \ln ({(\frac{{(3 - y)}^{2}}{| (1 + x) (1 - x) |})}^{\frac{1}{2}}) = C$

Этап 3.12.1.4

Применим правило умножения к $\frac{{(3 - y)}^{2}}{| (1 + x) (1 - x) |}$ .

$- \ln (\frac{{({(3 - y)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{| (1 + x) (1 - x) |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Этап 3.12.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.1.5.1

Перемножим экспоненты в ${({(3 - y)}^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.1.5.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \ln (\frac{{(3 - y)}^{2 (\frac{1}{2})}}{{| (1 + x) (1 - x) |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Этап 3.12.1.5.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.1.5.1.2.1

Сократим общий множитель.

$- \ln (\frac{{(3 - y)}^{2 (\frac{1}{2})}}{{| (1 + x) (1 - x) |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Этап 3.12.1.5.1.2.2

Перепишем это выражение.

$- \ln (\frac{{(3 - y)}^{1}}{{| (1 + x) (1 - x) |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Этап 3.12.1.5.2

Упростим.

$- \ln (\frac{3 - y}{{| (1 + x) (1 - x) |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Этап 3.12.1.6

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.1.6.1

Развернем $(1 + x) (1 - x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.1.6.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- \ln (\frac{3 - y}{{| 1 (1 - x) + x (1 - x) |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Этап 3.12.1.6.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- \ln (\frac{3 - y}{{| 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x) |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Этап 3.12.1.6.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- \ln (\frac{3 - y}{{| 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Этап 3.12.1.6.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.1.6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.1.6.2.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$- \ln (\frac{3 - y}{{| 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Этап 3.12.1.6.2.1.2

Умножим $- x$ на $1$ .

$- \ln (\frac{3 - y}{{| 1 - x + x \cdot 1 + x (- x) |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Этап 3.12.1.6.2.1.3

Умножим $x$ на $1$ .

$- \ln (\frac{3 - y}{{| 1 - x + x + x (- x) |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Этап 3.12.1.6.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- \ln (\frac{3 - y}{{| 1 - x + x - x \cdot x |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Этап 3.12.1.6.2.1.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.1.6.2.1.5.1

Перенесем $x$ .

$- \ln (\frac{3 - y}{{| 1 - x + x - (x \cdot x) |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Этап 3.12.1.6.2.1.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$- \ln (\frac{3 - y}{{| 1 - x + x - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Этап 3.12.1.6.2.2

Добавим $- x$ и $x$ .

$- \ln (\frac{3 - y}{{| 1 + 0 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Этап 3.12.1.6.2.3

Добавим $1$ и $0$ .

$- \ln (\frac{3 - y}{{| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Этап 3.13

Разделим каждый член $- \ln (\frac{3 - y}{{| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = C$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.1

Разделим каждый член $- \ln (\frac{3 - y}{{| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = C$ на $- 1$ .

$\frac{- \ln (\frac{3 - y}{{| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}})}{- 1} = \frac{C}{- 1}$

Этап 3.13.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\ln (\frac{3 - y}{{| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}})}{1} = \frac{C}{- 1}$

Этап 3.13.2.2

Разделим $\ln (\frac{3 - y}{{| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}})$ на $1$ .

$\ln (\frac{3 - y}{{| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = \frac{C}{- 1}$

Этап 3.13.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.3.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (\frac{3 - y}{{| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = - 1 \cdot C$

Этап 3.13.3.2

Перепишем $- 1 \cdot C$ в виде $- C$ .

$\ln (\frac{3 - y}{{| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = - C$

Этап 3.14

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (\frac{3 - y}{{| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}})} = e^{- C}$

Этап 3.15

Перепишем $\ln (\frac{3 - y}{{| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = - C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{- C} = \frac{3 - y}{{| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.16

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.16.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{3 - y}{{| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}} = e^{- C}$ .

$\frac{3 - y}{{| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}} = e^{- C}$

Этап 3.16.2

Умножим обе части на ${| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 - y}{{| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}} {| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}} = e^{- C} {| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}$

Этап 3.16.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.16.3.1

Упростим $\frac{3 - y}{{| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}} {| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.16.3.1.1

Сократим общий множитель ${| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.16.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 - y}{{| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}} {| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}} = e^{- C} {| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}$

Этап 3.16.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$3 - y = e^{- C} {| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}$

Этап 3.16.3.1.2

Изменим порядок $3$ и $- y$ .

$- y + 3 = e^{- C} {| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}$

Этап 3.16.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.16.4.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$- y = e^{- C} {| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}} - 3$

Этап 3.16.4.2

Разделим каждый член $- y = e^{- C} {| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}} - 3$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.16.4.2.1

Разделим каждый член $- y = e^{- C} {| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}} - 3$ на $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{e^{- C} {| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Этап 3.16.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.16.4.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{y}{1} = \frac{e^{- C} {| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Этап 3.16.4.2.2.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{e^{- C} {| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Этап 3.16.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.16.4.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.16.4.2.3.1.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{e^{- C} {| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (e^{- C} {| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{- 3}{- 1}$

Этап 3.16.4.2.3.1.2

Перепишем $- 1 \cdot (e^{- C} {| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}})$ в виде $- (e^{- C} {| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}})$ .

$y = - (e^{- C} {| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{- 3}{- 1}$

Этап 3.16.4.2.3.1.3

Разделим $- 3$ на $- 1$ .

$y = - e^{- C} {| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}} + 3$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = C {| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}} + 3$