Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} + \frac{5 x^{2}}{e^{3 x^{3}}} y = 0$

Этап 1

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = \frac{5 x^{2}}{e^{3 x^{3}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int \frac{5 x^{2}}{e^{3 x^{3}}} d x}$

Этап 1.2

Проинтегрируем $\frac{5 x^{2}}{e^{3 x^{3}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$e^{5 \int \frac{x^{2}}{e^{3 x^{3}}} d x}$

Этап 1.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Поменяем знак экспоненты $e^{3 x^{3}}$ и вынесем ее из знаменателя.

$e^{5 \int x^{2} {(e^{3 x^{3}})}^{- 1} d x}$

Этап 1.2.2.2

Перемножим экспоненты в ${(e^{3 x^{3}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{5 \int x^{2} e^{3 x^{3} \cdot - 1} d x}$

Этап 1.2.2.2.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$e^{5 \int x^{2} e^{- 3 x^{3}} d x}$

Этап 1.2.3

Пусть $u_{2} = e^{- 3 x^{3}}$ . Тогда $d u_{2} = - 9 x^{2} e^{- 3 x^{3}} d x$ , следовательно $- \frac{1}{9} d u_{2} = x^{2} e^{- 3 x^{3}} d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Пусть $u_{2} = e^{- 3 x^{3}}$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.1

Дифференцируем $e^{- 3 x^{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- 3 x^{3}}]$

Этап 1.2.3.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = - 3 x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $- 3 x^{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

Этап 1.2.3.1.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

Этап 1.2.3.1.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $- 3 x^{3}$ .

$e^{- 3 x^{3}} \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

Этап 1.2.3.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.3.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x^{3}$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$e^{- 3 x^{3}} (- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 1.2.3.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$e^{- 3 x^{3}} (- 3 (3 x^{2}))$

Этап 1.2.3.1.3.3

Умножим $3$ на $- 3$ .

$e^{- 3 x^{3}} (- 9 x^{2})$

Этап 1.2.3.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.4.1

Изменим порядок множителей в $e^{- 3 x^{3}} (- 9 x^{2})$ .

$- 9 e^{- 3 x^{3}} x^{2}$

Этап 1.2.3.1.4.2

Изменим порядок множителей в $- 9 e^{- 3 x^{3}} x^{2}$ .

$- 9 x^{2} e^{- 3 x^{3}}$

Этап 1.2.3.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$e^{5 \int \frac{1}{- 9} d u_{2}}$

Этап 1.2.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e^{5 \int - \frac{1}{9} d u_{2}}$

Этап 1.2.5

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$e^{5 (- \frac{1}{9} u_{2} + C)}$

Этап 1.2.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Упростим.

$e^{5 (- \frac{1}{9} u_{2}) + C}$

Этап 1.2.6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.1

Объединим $u_{2}$ и $\frac{1}{9}$ .

$e^{5 (- \frac{u_{2}}{9}) + C}$

Этап 1.2.6.2.2

Умножим $- 1$ на $5$ .

$e^{- 5 \frac{u_{2}}{9} + C}$

Этап 1.2.6.2.3

Объединим $- 5$ и $\frac{u_{2}}{9}$ .

$e^{\frac{- 5 u_{2}}{9} + C}$

Этап 1.2.6.2.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e^{- \frac{5 u_{2}}{9} + C}$

Этап 1.2.6.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $e^{- 3 x^{3}}$ .

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9} + C}$

Этап 1.2.6.4

Изменим порядок членов.

$e^{- \frac{5}{9} e^{- 3 x^{3}} + C}$

Этап 1.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{- \frac{5}{9} e^{- 3 x^{3}}}$

Этап 1.4

Объединим $e^{- 3 x^{3}}$ и $\frac{5}{9}$ .

$e^{- \frac{e^{- 3 x^{3}} \cdot 5}{9}}$

Этап 1.5

Перенесем $5$ влево от $e^{- 3 x^{3}}$ .

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}$

Этап 2

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член на $e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}$ .

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \frac{d y}{d x} + e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} (\frac{5 x^{2}}{e^{3 x^{3}}} y) = e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \cdot 0$

Этап 2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Объединим $\frac{5 x^{2}}{e^{3 x^{3}}}$ и $y$ .

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \frac{d y}{d x} + e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \frac{5 x^{2} y}{e^{3 x^{3}}} = e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \cdot 0$

Этап 2.2.2

Объединим $e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}$ и $\frac{5 x^{2} y}{e^{3 x^{3}}}$ .

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \frac{d y}{d x} + \frac{e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} (5 x^{2} y)}{e^{3 x^{3}}} = e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \cdot 0$

Этап 2.2.3

Сократим общий множитель $e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}$ и $e^{3 x^{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Вынесем множитель $e^{3 x^{3}}$ из $e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} (5 x^{2} y)$ .

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \frac{d y}{d x} + \frac{e^{3 x^{3}} (e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9} - 3 x^{3}} (5 x^{2} y))}{e^{3 x^{3}}} = e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \cdot 0$

Этап 2.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.1

Умножим на $1$ .

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \frac{d y}{d x} + \frac{e^{3 x^{3}} (e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9} - 3 x^{3}} (5 x^{2} y))}{e^{3 x^{3}} \cdot 1} = e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \cdot 0$

Этап 2.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \frac{d y}{d x} + \frac{e^{3 x^{3}} (e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9} - 3 x^{3}} (5 x^{2} y))}{e^{3 x^{3}} \cdot 1} = e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \cdot 0$

Этап 2.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \frac{d y}{d x} + \frac{e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9} - 3 x^{3}} (5 x^{2} y)}{1} = e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \cdot 0$

Этап 2.2.3.2.4

Разделим $e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9} - 3 x^{3}} (5 x^{2} y)$ на $1$ .

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \frac{d y}{d x} + e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9} - 3 x^{3}} (5 x^{2} y) = e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \cdot 0$

Этап 2.2.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \frac{d y}{d x} + 5 e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9} - 3 x^{3}} (x^{2} y) = e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \cdot 0$

Этап 2.3

Умножим $e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}$ на $0$ .

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \frac{d y}{d x} + 5 e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9} - 3 x^{3}} (x^{2} y) = 0$

Этап 2.4

Изменим порядок множителей в $e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \frac{d y}{d x} + 5 e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9} - 3 x^{3}} (x^{2} y) = 0$ .

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \frac{d y}{d x} + 5 x^{2} y e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9} - 3 x^{3}} = 0$

Этап 3

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} y] = 0$

Этап 4

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} y] d x = \int 0 d x$

Этап 5

Проинтегрируем левую часть.

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} y = \int 0 d x$

Этап 6

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Интеграл $0$ по $x$ имеет вид $0$ .

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} y = 0 + C$

Этап 6.2

Добавим $0$ и $C$ .

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} y = C$

Этап 7

Разделим каждый член $e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} y = C$ на $e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим каждый член $e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} y = C$ на $e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}$ .

$\frac{e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} y}{e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}} = \frac{C}{e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}}$

Этап 7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель $e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} y}{e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}} = \frac{C}{e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}}$

Этап 7.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{C}{e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}}$