Математический анализ Примеры

$(1 + y^{2}) d x - (1 + x^{2}) d y = 0$

Этап 1

Вычтем $(1 + y^{2}) d x$ из обеих частей уравнения.

$- (1 + x^{2}) d y = - (1 + y^{2}) d x$

Этап 2

Умножим обе части на $\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- (1 + x^{2})) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- (1 + y^{2})) d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- (1 + y^{2})) d x$

Этап 3.2

Сократим общий множитель $1 + x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ в числитель.

$\frac{- 1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- (1 + y^{2})) d x$

Этап 3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- (1 + y^{2})) d x$

Этап 3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- (1 + y^{2})) d x$

Этап 3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- (1 + y^{2})) d x$

Этап 3.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- \frac{1}{1 + y^{2}} d y = - \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (1 + y^{2}) d x$

Этап 3.5

Сократим общий множитель $1 + y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ в числитель.

$- \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (1 + y^{2}) d x$

Этап 3.5.2

Вынесем множитель $1 + y^{2}$ из $(1 + x^{2}) (1 + y^{2})$ .

$- \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 1}{(1 + y^{2}) (1 + x^{2})} (1 + y^{2}) d x$

Этап 3.5.3

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 1}{(1 + y^{2}) (1 + x^{2})} (1 + y^{2}) d x$

Этап 3.5.4

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 1}{1 + x^{2}} d x$

Этап 3.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{1 + y^{2}} d y = - \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Этап 4

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int - \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Этап 4.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Этап 4.2.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$- \int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Этап 4.2.3

Интеграл $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ по $y$ имеет вид $\arctan (y) + C_{1}$ .

$- (\arctan (y) + C_{1}) = \int - \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Этап 4.2.4

Упростим.

$- \arctan (y) + C_{1} = \int - \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Этап 4.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \arctan (y) + C_{1} = - \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Этап 4.3.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$- \arctan (y) + C_{1} = - \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Этап 4.3.3

Интеграл $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ по $x$ имеет вид $\arctan (x) + C_{2}$ .

$- \arctan (y) + C_{1} = - (\arctan (x) + C_{2})$

Этап 4.3.4

Упростим.

$- \arctan (y) + C_{1} = - \arctan (x) + C_{2}$

Этап 4.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$- \arctan (y) = - \arctan (x) + K$

Этап 5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим каждый член $- \arctan (y) = - \arctan (x) + K$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Разделим каждый член $- \arctan (y) = - \arctan (x) + K$ на $- 1$ .

$\frac{- \arctan (y)}{- 1} = \frac{- \arctan (x)}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Этап 5.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\arctan (y)}{1} = \frac{- \arctan (x)}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Этап 5.1.2.2

Разделим $\arctan (y)$ на $1$ .

$\arctan (y) = \frac{- \arctan (x)}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Этап 5.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\arctan (y) = \frac{\arctan (x)}{1} + \frac{K}{- 1}$

Этап 5.1.3.1.2

Разделим $\arctan (x)$ на $1$ .

$\arctan (y) = \arctan (x) + \frac{K}{- 1}$

Этап 5.1.3.1.3

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{K}{- 1}$ .

$\arctan (y) = \arctan (x) - 1 \cdot K$

Этап 5.1.3.1.4

Перепишем $- 1 \cdot K$ в виде $- K$ .

$\arctan (y) = \arctan (x) - K$

Этап 5.2

Перепишем уравнение в виде $\arctan (x) - K = \arctan (y)$ .

$\arctan (x) - K = \arctan (y)$

Этап 5.3

Добавим $K$ к обеим частям уравнения.

$\arctan (x) = \arctan (y) + K$

Этап 5.4

Возьмем обратную арктангенса обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из арктангенса.

$x = \tan (\arctan (y) + K)$

Этап 5.5

Перепишем уравнение в виде $\tan (\arctan (y) + K) = x$ .

$\tan (\arctan (y) + K) = x$

Этап 5.6

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $\arctan (y)$ из тангенса.

$\arctan (y) + K = \arctan (x)$

Этап 5.7

Вычтем $K$ из обеих частей уравнения.

$\arctan (y) = \arctan (x) - K$

Этап 5.8

Возьмем обратную арктангенса обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из арктангенса.

$y = \tan (\arctan (x) - K)$

Этап 5.9

Поскольку $y$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$\tan (\arctan (y) + K) = x$

Этап 5.10

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $\arctan (y)$ из тангенса.

$\arctan (y) + K = \arctan (x)$

Этап 5.11

Вычтем $K$ из обеих частей уравнения.

$\arctan (y) = \arctan (x) - K$

Этап 5.12

Возьмем обратную арктангенса обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из арктангенса.

$y = \tan (\arctan (x) - K)$

Этап 6

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \tan (\arctan (x) + K)$