Математический анализ Примеры

$\frac{d P}{d C} = \frac{- 216}{{(C + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d P = \frac{- 216}{{(C + 1)}^{\frac{3}{2}}} d C$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d P = \int \frac{- 216}{{(C + 1)}^{\frac{3}{2}}} d C$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$P + C_{1} = \int \frac{- 216}{{(C + 1)}^{\frac{3}{2}}} d C$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$P + C_{1} = \int - \frac{216}{{(C + 1)}^{\frac{3}{2}}} d C$

Этап 2.3.2

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $C$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$P + C_{1} = - \int \frac{216}{{(C + 1)}^{\frac{3}{2}}} d C$

Этап 2.3.3

Поскольку $216$ — константа по отношению к $C$ , вынесем $216$ из-под знака интеграла.

$P + C_{1} = - (216 \int \frac{1}{{(C + 1)}^{\frac{3}{2}}} d C)$

Этап 2.3.4

Умножим $216$ на $- 1$ .

$P + C_{1} = - 216 \int \frac{1}{{(C + 1)}^{\frac{3}{2}}} d C$

Этап 2.3.5

Пусть $u = C + 1$ . Тогда $d u = d C$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Пусть $u = C + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d C}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1.1

Дифференцируем $C + 1$ .

$\frac{d}{d C} [C + 1]$

Этап 2.3.5.1.2

По правилу суммы производная $C + 1$ по $C$ имеет вид $\frac{d}{d C} [C] + \frac{d}{d C} [1]$ .

$\frac{d}{d C} [C] + \frac{d}{d C} [1]$

Этап 2.3.5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d C} [C^{n}]$ имеет вид $n C^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d C} [1]$

Этап 2.3.5.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $C$ , производная $1$ относительно $C$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 2.3.5.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 2.3.5.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$P + C_{1} = - 216 \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

Этап 2.3.6

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Вынесем $u^{\frac{3}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$P + C_{1} = - 216 \int {(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d u$

Этап 2.3.6.2

Перемножим экспоненты в ${(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$P + C_{1} = - 216 \int u^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d u$

Этап 2.3.6.2.2

Умножим $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.2.2.1

Объединим $\frac{3}{2}$ и $- 1$ .

$P + C_{1} = - 216 \int u^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d u$

Этап 2.3.6.2.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$P + C_{1} = - 216 \int u^{\frac{- 3}{2}} d u$

Этап 2.3.6.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$P + C_{1} = - 216 \int u^{- \frac{3}{2}} d u$

Этап 2.3.7

По правилу степени интеграл $u^{- \frac{3}{2}}$ по $u$ имеет вид $- 2 u^{- \frac{1}{2}}$ .

$P + C_{1} = - 216 (- 2 u^{- \frac{1}{2}} + C_{2})$

Этап 2.3.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.8.1

Перепишем $- 216 (- 2 u^{- \frac{1}{2}} + C_{2})$ в виде $- 216 (- 2 \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}) + C_{2}$ .

$P + C_{1} = - 216 (- 2 \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}) + C_{2}$

Этап 2.3.8.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.8.2.1

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}$ .

$P + C_{1} = - 216 \frac{- 2}{u^{\frac{1}{2}}} + C_{2}$

Этап 2.3.8.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$P + C_{1} = - 216 (- \frac{2}{u^{\frac{1}{2}}}) + C_{2}$

Этап 2.3.8.2.3

Умножим $- 1$ на $- 216$ .

$P + C_{1} = 216 \frac{2}{u^{\frac{1}{2}}} + C_{2}$

Этап 2.3.8.2.4

Объединим $216$ и $\frac{2}{u^{\frac{1}{2}}}$ .

$P + C_{1} = \frac{216 \cdot 2}{u^{\frac{1}{2}}} + C_{2}$

Этап 2.3.8.2.5

Умножим $216$ на $2$ .

$P + C_{1} = \frac{432}{u^{\frac{1}{2}}} + C_{2}$

Этап 2.3.9

Заменим все вхождения $u$ на $C + 1$ .

$P + C_{1} = \frac{432}{{(C + 1)}^{\frac{1}{2}}} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$P = \frac{432}{{(C + 1)}^{\frac{1}{2}}} + K$