Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} \sec^{2} (\frac{1}{x}) \tan (\frac{1}{x})}{x^{2}}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перегруппируем множители.

$\frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{\sec^{2} (\frac{1}{x}) \tan (\frac{1}{x})}{x^{2}}$

Этап 1.2

Умножим обе части на $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} \frac{\sec^{2} (\frac{1}{x}) \tan (\frac{1}{x})}{x^{2}})$

Этап 1.3

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} \frac{\sec^{2} (\frac{1}{x}) \tan (\frac{1}{x})}{x^{2}})$

Этап 1.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{\sec^{2} (\frac{1}{x}) \tan (\frac{1}{x})}{x^{2}}$

Этап 1.4

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{\sec^{2} (\frac{1}{x}) \tan (\frac{1}{x})}{x^{2}} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int \frac{\sec^{2} (\frac{1}{x}) \tan (\frac{1}{x})}{x^{2}} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем $y^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int \frac{\sec^{2} (\frac{1}{x}) \tan (\frac{1}{x})}{x^{2}} d x$

Этап 2.2.1.2

Перемножим экспоненты в ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int \frac{\sec^{2} (\frac{1}{x}) \tan (\frac{1}{x})}{x^{2}} d x$

Этап 2.2.1.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int \frac{\sec^{2} (\frac{1}{x}) \tan (\frac{1}{x})}{x^{2}} d x$

Этап 2.2.2

По правилу степени интеграл $y^{- 2}$ по $y$ имеет вид $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int \frac{\sec^{2} (\frac{1}{x}) \tan (\frac{1}{x})}{x^{2}} d x$

Этап 2.2.3

Перепишем $- y^{- 1} + C_{1}$ в виде $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{\sec^{2} (\frac{1}{x}) \tan (\frac{1}{x})}{x^{2}} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Пусть $u_{2} = \sec (\frac{1}{x})$ . Тогда $d u_{2} = - \frac{\tan (\frac{1}{x}) \sec (\frac{1}{x})}{x^{2}} d x$ , следовательно $- d u_{2} = \frac{\tan (\frac{1}{x}) \sec (\frac{1}{x})}{x^{2}} d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Пусть $u_{2} = \sec (\frac{1}{x})$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Дифференцируем $\sec (\frac{1}{x})$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (\frac{1}{x})]$

Этап 2.3.1.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sec (x)$ и $g (x) = \frac{1}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sec (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 2.3.1.1.2.2

Производная $\sec (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ .

$\sec (u_{1}) \tan (u_{1}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 2.3.1.1.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\frac{1}{x}$ .

$\sec (\frac{1}{x}) \tan (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 2.3.1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.3.1

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$\sec (\frac{1}{x}) \tan (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Этап 2.3.1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$\sec (\frac{1}{x}) \tan (\frac{1}{x}) (- x^{- 2})$

Этап 2.3.1.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\sec (\frac{1}{x}) \tan (\frac{1}{x}) (- \frac{1}{x^{2}})$

Этап 2.3.1.1.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.4.2.1

Объединим $\sec (\frac{1}{x})$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\tan (\frac{1}{x}) (- \frac{\sec (\frac{1}{x})}{x^{2}})$

Этап 2.3.1.1.4.2.2

Объединим $\tan (\frac{1}{x})$ и $\frac{\sec (\frac{1}{x})}{x^{2}}$ .

$- \frac{\tan (\frac{1}{x}) \sec (\frac{1}{x})}{x^{2}}$

Этап 2.3.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int - u_{2} d u_{2}$

Этап 2.3.2

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int u_{2} d u_{2}$

Этап 2.3.3

По правилу степени интеграл $u_{2}$ по $u_{2}$ имеет вид $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C_{2})$

Этап 2.3.4

Перепишем $- (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C_{2})$ в виде $- \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C_{2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.5

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\sec (\frac{1}{x})$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \frac{1}{2} \sec^{2} (\frac{1}{x}) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$- \frac{1}{y} = - \frac{1}{2} \sec^{2} (\frac{1}{x}) + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $\sec^{2} (\frac{1}{x})$ и $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{y} = - \frac{\sec^{2} (\frac{1}{x})}{2} + K$

Этап 3.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$y, 2, 1$

Этап 3.2.2

Так как $y, 2, 1$ содержит и числа, и переменные, НОК можно найти в два этапа. Найдем НОК для числовой части $1, 2, 1$ , затем найдем НОК для части с переменной $y^{1}$ .

Этап 3.2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 3.2.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 3.2.5

Поскольку $2$ не имеет множителей, кроме $1$ и $2$ .

$2$ — простое число

Этап 3.2.6

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 3.2.7

НОК $1, 2, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$2$

Этап 3.2.8

Множителем $y^{1}$ является само значение $y$ .

$y^{1} = y$

$y$ встречается $1$ раз.

Этап 3.2.9

НОК $y^{1}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$y$

Этап 3.2.10

НОК $y, 2, 1$ представляет собой произведение числовой части $2$ и переменной части.

$2 y$

Этап 3.3

Каждый член в $- \frac{1}{y} = - \frac{\sec^{2} (\frac{1}{x})}{2} + K$ умножим на $2 y$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим каждый член $- \frac{1}{y} = - \frac{\sec^{2} (\frac{1}{x})}{2} + K$ на $2 y$ .

$- \frac{1}{y} (2 y) = - \frac{\sec^{2} (\frac{1}{x})}{2} (2 y) + K (2 y)$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{y}$ в числитель.

$\frac{- 1}{y} (2 y) = - \frac{\sec^{2} (\frac{1}{x})}{2} (2 y) + K (2 y)$

Этап 3.3.2.1.2

Вынесем множитель $y$ из $2 y$ .

$\frac{- 1}{y} (y \cdot 2) = - \frac{\sec^{2} (\frac{1}{x})}{2} (2 y) + K (2 y)$

Этап 3.3.2.1.3

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{y} (y \cdot 2) = - \frac{\sec^{2} (\frac{1}{x})}{2} (2 y) + K (2 y)$

Этап 3.3.2.1.4

Перепишем это выражение.

$- 1 \cdot 2 = - \frac{\sec^{2} (\frac{1}{x})}{2} (2 y) + K (2 y)$

Этап 3.3.2.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 = - \frac{\sec^{2} (\frac{1}{x})}{2} (2 y) + K (2 y)$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\sec^{2} (\frac{1}{x})}{2}$ в числитель.

$- 2 = \frac{- \sec^{2} (\frac{1}{x})}{2} (2 y) + K (2 y)$

Этап 3.3.3.1.1.2

Вынесем множитель $2$ из $2 y$ .

$- 2 = \frac{- \sec^{2} (\frac{1}{x})}{2} (2 (y)) + K (2 y)$

Этап 3.3.3.1.1.3

Сократим общий множитель.

$- 2 = \frac{- \sec^{2} (\frac{1}{x})}{2} (2 y) + K (2 y)$

Этап 3.3.3.1.1.4

Перепишем это выражение.

$- 2 = - \sec^{2} (\frac{1}{x}) y + K (2 y)$

Этап 3.3.3.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 2 = - \sec^{2} (\frac{1}{x}) y + 2 K y$

Этап 3.3.3.2

Изменим порядок множителей в $- \sec^{2} (\frac{1}{x}) y + 2 K y$ .

$- 2 = - y \sec^{2} (\frac{1}{x}) + 2 K y$

Этап 3.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем уравнение в виде $- y \sec^{2} (\frac{1}{x}) + 2 K y = - 2$ .

$- y \sec^{2} (\frac{1}{x}) + 2 K y = - 2$

Этап 3.4.2

Вынесем множитель $y$ из $- y \sec^{2} (\frac{1}{x}) + 2 K y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Вынесем множитель $y$ из $- y \sec^{2} (\frac{1}{x})$ .

$y (- 1 \sec^{2} (\frac{1}{x})) + 2 K y = - 2$

Этап 3.4.2.2

Вынесем множитель $y$ из $2 K y$ .

$y (- 1 \sec^{2} (\frac{1}{x})) + y (2 K) = - 2$

Этап 3.4.2.3

Вынесем множитель $y$ из $y (- 1 \sec^{2} (\frac{1}{x})) + y (2 K)$ .

$y (- 1 \sec^{2} (\frac{1}{x}) + 2 K) = - 2$

Этап 3.4.3

Перепишем $- 1 \sec^{2} (\frac{1}{x})$ в виде $- \sec^{2} (\frac{1}{x})$ .

$y (- \sec^{2} (\frac{1}{x}) + 2 K) = - 2$

Этап 3.4.4

Разделим каждый член $y (- \sec^{2} (\frac{1}{x}) + 2 K) = - 2$ на $- \sec^{2} (\frac{1}{x}) + 2 K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Разделим каждый член $y (- \sec^{2} (\frac{1}{x}) + 2 K) = - 2$ на $- \sec^{2} (\frac{1}{x}) + 2 K$ .

$\frac{y (- \sec^{2} (\frac{1}{x}) + 2 K)}{- \sec^{2} (\frac{1}{x}) + 2 K} = \frac{- 2}{- \sec^{2} (\frac{1}{x}) + 2 K}$

Этап 3.4.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.1

Сократим общий множитель $- \sec^{2} (\frac{1}{x}) + 2 K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (- \sec^{2} (\frac{1}{x}) + 2 K)}{- \sec^{2} (\frac{1}{x}) + 2 K} = \frac{- 2}{- \sec^{2} (\frac{1}{x}) + 2 K}$

Этап 3.4.4.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- 2}{- \sec^{2} (\frac{1}{x}) + 2 K}$

Этап 3.4.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{2}{- \sec^{2} (\frac{1}{x}) + 2 K}$

Этап 3.4.4.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sec^{2} (\frac{1}{x})$ .

$y = - \frac{2}{- (\sec^{2} (\frac{1}{x})) + 2 K}$

Этап 3.4.4.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $2 K$ .

$y = - \frac{2}{- (\sec^{2} (\frac{1}{x})) - (- 2 K)}$

Этап 3.4.4.3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (\sec^{2} (\frac{1}{x})) - (- 2 K)$ .

$y = - \frac{2}{- (\sec^{2} (\frac{1}{x}) - 2 K)}$

Этап 3.4.4.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.3.5.1

Перепишем $- (\sec^{2} (\frac{1}{x}) - 2 K)$ в виде $- 1 (\sec^{2} (\frac{1}{x}) - 2 K)$ .

$y = - \frac{2}{- 1 (\sec^{2} (\frac{1}{x}) - 2 K)}$

Этап 3.4.4.3.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - - \frac{2}{\sec^{2} (\frac{1}{x}) - 2 K}$

Этап 3.4.4.3.5.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y = 1 \frac{2}{\sec^{2} (\frac{1}{x}) - 2 K}$

Этап 3.4.4.3.5.4

Умножим $\frac{2}{\sec^{2} (\frac{1}{x}) - 2 K}$ на $1$ .

$y = \frac{2}{\sec^{2} (\frac{1}{x}) - 2 K}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{2}{\sec^{2} (\frac{1}{x}) + K}$