Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{y^{2}}{x^{2}} - 1}$

Этап 1

Перепишем $\frac{y^{2}}{x^{2}}$ в виде ${(\frac{y}{x})}^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{{(\frac{y}{x})}^{2} - 1}$

Этап 2

Пусть $V = \frac{y}{x}$ . Подставим $V$ вместо $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V + \sqrt{V^{2} - 1}$

Этап 3

Решим $V = \frac{y}{x}$ относительно $y$ .

$y = V x$

Этап 4

Применим правило умножения, чтобы найти производную $y = V x$ по $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Этап 5

Подставим $x \frac{d V}{d x} + V$ вместо $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{V^{2} - 1}$

Этап 6

Решим подставленное дифференциальное уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Решим относительно $\frac{d V}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{V^{2} - 1^{2}}$

Этап 6.1.1.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = V$ и $b = 1$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)}$

Этап 6.1.1.2

Перенесем все члены без $\frac{d V}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.2.1

Вычтем $V$ из обеих частей уравнения.

$x \frac{d V}{d x} = V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} - V$

Этап 6.1.1.2.2

Объединим противоположные члены в $V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} - V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.2.2.1

Вычтем $V$ из $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = 0 + \sqrt{(V + 1) (V - 1)}$

Этап 6.1.1.2.2.2

Добавим $0$ и $\sqrt{(V + 1) (V - 1)}$ .

$x \frac{d V}{d x} = \sqrt{(V + 1) (V - 1)}$

Этап 6.1.1.3

Разделим каждый член $x \frac{d V}{d x} = \sqrt{(V + 1) (V - 1)}$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.1

Разделим каждый член $x \frac{d V}{d x} = \sqrt{(V + 1) (V - 1)}$ на $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}}{x}$

Этап 6.1.1.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}}{x}$

Этап 6.1.1.3.2.1.2

Разделим $\frac{d V}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}}{x}$

Этап 6.1.2

Умножим обе части на $\frac{1}{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}} \cdot \frac{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}}{x}$

Этап 6.1.3

Сократим общий множитель $\sqrt{(V + 1) (V - 1)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}} \cdot \frac{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}}{x}$

Этап 6.1.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Этап 6.1.4

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}} d V = \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Составим полный квадрат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1.1

Развернем $(V + 1) (V - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$V (V - 1) + 1 (V - 1)$

Этап 6.2.2.1.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$V \cdot V + V \cdot - 1 + 1 (V - 1)$

Этап 6.2.2.1.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$V \cdot V + V \cdot - 1 + 1 V + 1 \cdot - 1$

Этап 6.2.2.1.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1.2.1.1

Умножим $V$ на $V$ .

$V^{2} + V \cdot - 1 + 1 V + 1 \cdot - 1$

Этап 6.2.2.1.1.2.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $V$ .

$V^{2} - 1 \cdot V + 1 V + 1 \cdot - 1$

Этап 6.2.2.1.1.2.1.3

Перепишем $- 1 V$ в виде $- V$ .

$V^{2} - V + 1 V + 1 \cdot - 1$

Этап 6.2.2.1.1.2.1.4

Умножим $V$ на $1$ .

$V^{2} - V + V + 1 \cdot - 1$

Этап 6.2.2.1.1.2.1.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$V^{2} - V + V - 1$

Этап 6.2.2.1.1.2.2

Добавим $- V$ и $V$ .

$V^{2} + 0 - 1$

Этап 6.2.2.1.1.2.3

Добавим $V^{2}$ и $0$ .

$V^{2} - 1$

Этап 6.2.2.1.2

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 1$

$b = 0$

$c = - 1$

Этап 6.2.2.1.3

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 6.2.2.1.4

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.4.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.2.1.4.2

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.2.1.4.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.4.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 (1)}$

Этап 6.2.2.1.4.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.2.1.4.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{0}{1}$

Этап 6.2.2.1.4.2.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$d = 0$

Этап 6.2.2.1.5

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.5.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 1 - \frac{0^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 6.2.2.1.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.5.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$e = - 1 - \frac{0}{4 \cdot 1}$

Этап 6.2.2.1.5.2.1.2

Умножим $4$ на $1$ .

$e = - 1 - \frac{0}{4}$

Этап 6.2.2.1.5.2.1.3

Разделим $0$ на $4$ .

$e = - 1 - 0$

Этап 6.2.2.1.5.2.1.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$e = - 1 + 0$

Этап 6.2.2.1.5.2.2

Добавим $- 1$ и $0$ .

$e = - 1$

Этап 6.2.2.1.6

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной ${(V + 0)}^{2} - 1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(V + 0)}^{2} - 1}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.2

Пусть $u = V + 0$ . Тогда $d u = d V$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1

Пусть $u = V + 0$ . Найдем $\frac{d u}{d V}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1.1

Дифференцируем $V + 0$ .

$\frac{d}{d V} [V + 0]$

Этап 6.2.2.2.1.2

По правилу суммы производная $V + 0$ по $V$ имеет вид $\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [0]$ .

$\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [0]$

Этап 6.2.2.2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ имеет вид $n V^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d V} [0]$

Этап 6.2.2.2.1.4

Поскольку $0$ является константой относительно $V$ , производная $0$ относительно $V$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 6.2.2.2.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 6.2.2.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u^{2} - 1}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.3

Пусть $u = \sec (t)$ , где $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Тогда $d u = \sec (t) \tan (t) d t$ . Заметим, что поскольку $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , выражение $\sec (t) \tan (t)$ положительно.

$\int \frac{1}{\sqrt{\sec^{2} (t) - 1}} (\sec (t) \tan (t)) d t = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.4.1

Упростим $\sqrt{\sec^{2} (t) - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.4.1.1

Применим формулу Пифагора.

$\int \frac{1}{\sqrt{\tan^{2} (t)}} (\sec (t) \tan (t)) d t = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.4.1.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\int \frac{1}{\tan (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.4.2

Сократим общий множитель $\tan (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.4.2.1

Вынесем множитель $\tan (t)$ из $\sec (t) \tan (t)$ .

$\int \frac{1}{\tan (t)} (\tan (t) \sec (t)) d t = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\int \frac{1}{\tan (t)} (\tan (t) \sec (t)) d t = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\int \sec (t) d t = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.5

Интеграл $\sec (t)$ по $t$ имеет вид $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.6

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.6.1

Заменим все вхождения $t$ на $arcsec (u)$ .

$\ln (| \sec (arcsec (u)) + \tan (arcsec (u)) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.6.2

Заменим все вхождения $u$ на $V + 0$ .

$\ln (| \sec (arcsec (V + 0)) + \tan (arcsec (V + 0)) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.7.1

Добавим $V$ и $0$ .

$\ln (| \sec (arcsec (V)) + \tan (arcsec (V + 0)) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.7.2

Добавим $V$ и $0$ .

$\ln (| \sec (arcsec (V)) + \tan (arcsec (V)) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.3

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\ln (| \sec (arcsec (V)) + \tan (arcsec (V)) |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Этап 6.2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| \sec (arcsec (V)) + \tan (arcsec (V)) |) = \ln (| x |) + C$

Этап 6.3

Решим относительно $V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| \sec (arcsec (V)) + \tan (arcsec (V)) |) - \ln (| x |) = C$

Этап 6.3.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| \sec (arcsec (V)) + \tan (arcsec (V)) |}{| x |}) = C$

Этап 6.3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Секанс и арксеканс — обратные функции.

$\ln (\frac{| V + \tan (arcsec (V)) |}{| x |}) = C$

Этап 6.3.3.2

Построим на плоскости треугольник с вершинами в точках $(1, \sqrt{V^{2} - 1^{2}})$ , $(1, 0)$ и начале координат. Тогда $arcsec (V)$ — это угол между положительной частью оси абсцисс и лучом с вершиной в начале координат, проходящим через точку $(1, \sqrt{V^{2} - 1^{2}})$ . Следовательно, $\tan (arcsec (V))$ равно $\sqrt{V^{2} - 1}$ .

$\ln (\frac{| V + \sqrt{V^{2} - 1} |}{| x |}) = C$

Этап 6.3.3.3

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\ln (\frac{| V + \sqrt{V^{2} - 1^{2}} |}{| x |}) = C$

Этап 6.3.3.4

$\ln (\frac{| V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} |}{| x |}) = C$

Этап 6.3.4

Чтобы решить относительно $V$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (\frac{| V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} |}{| x |})} = e^{C}$

Этап 6.3.5

Перепишем $\ln (\frac{| V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} |}{| x |}) = C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} |}{| x |}$

Этап 6.3.6

Решим относительно $V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.6.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{| V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} |}{| x |} = e^{C}$ .

$\frac{| V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} |}{| x |} = e^{C}$

Этап 6.3.6.2

Умножим обе части на $| x |$ .

$\frac{| V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

Этап 6.3.6.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.6.3.1

Сократим общий множитель $| x |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.6.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{| V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

Этап 6.3.6.3.1.2

Перепишем это выражение.

$| V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} | = e^{C} | x |$

Этап 6.3.6.4

Решим относительно $V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.6.4.1

Изменим порядок множителей в $e^{C} | x |$ .

$| V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} | = | x | e^{C}$

Этап 6.3.6.4.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} = \pm | x | e^{C}$

Этап 6.3.6.4.3

Решим относительно $\sqrt{(V + 1) (V - 1)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.6.4.3.1

Изменим порядок множителей в $\pm | x | e^{C}$ .

$V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} = \pm e^{C} | x |$

Этап 6.3.6.4.3.2

Вычтем $V$ из обеих частей уравнения.

$\sqrt{(V + 1) (V - 1)} = \pm e^{C} | x | - V$

Этап 6.3.6.4.4

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{(V + 1) (V - 1)}}^{2} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Этап 6.3.6.4.5

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.6.4.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{(V + 1) (V - 1)}$ в виде ${((V + 1) (V - 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({((V + 1) (V - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Этап 6.3.6.4.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.6.4.5.2.1

Упростим ${({((V + 1) (V - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.6.4.5.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({((V + 1) (V - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.6.4.5.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${((V + 1) (V - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Этап 6.3.6.4.5.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.6.4.5.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${((V + 1) (V - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Этап 6.3.6.4.5.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${((V + 1) (V - 1))}^{1} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Этап 6.3.6.4.5.2.1.2

Развернем $(V + 1) (V - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.6.4.5.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

${(V (V - 1) + 1 (V - 1))}^{1} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Этап 6.3.6.4.5.2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

${(V \cdot V + V \cdot - 1 + 1 (V - 1))}^{1} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Этап 6.3.6.4.5.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

${(V \cdot V + V \cdot - 1 + 1 V + 1 \cdot - 1)}^{1} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Этап 6.3.6.4.5.2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.6.4.5.2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.6.4.5.2.1.3.1.1

Умножим $V$ на $V$ .

${(V^{2} + V \cdot - 1 + 1 V + 1 \cdot - 1)}^{1} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Этап 6.3.6.4.5.2.1.3.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $V$ .

${(V^{2} - 1 \cdot V + 1 V + 1 \cdot - 1)}^{1} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Этап 6.3.6.4.5.2.1.3.1.3

Перепишем $- 1 V$ в виде $- V$ .

${(V^{2} - V + 1 V + 1 \cdot - 1)}^{1} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Этап 6.3.6.4.5.2.1.3.1.4

Умножим $V$ на $1$ .

${(V^{2} - V + V + 1 \cdot - 1)}^{1} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Этап 6.3.6.4.5.2.1.3.1.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

${(V^{2} - V + V - 1)}^{1} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Этап 6.3.6.4.5.2.1.3.2

Добавим $- V$ и $V$ .

${(V^{2} + 0 - 1)}^{1} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Этап 6.3.6.4.5.2.1.3.3

Добавим $V^{2}$ и $0$ .

${(V^{2} - 1)}^{1} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Этап 6.3.6.4.5.2.1.4

Упростим.

$V^{2} - 1 = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Этап 6.3.6.4.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.6.4.5.3.1

Упростим ${(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.6.4.5.3.1.1

Перепишем ${(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$ в виде $(\pm e^{C} | x | - V) (\pm e^{C} | x | - V)$ .

$V^{2} - 1 = (\pm e^{C} | x | - V) (\pm e^{C} | x | - V)$

Этап 6.3.6.4.5.3.1.2

Развернем $(\pm e^{C} | x | - V) (\pm e^{C} | x | - V)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.6.4.5.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$V^{2} - 1 = (\pm e^{C} | x |) (\pm e^{C} | x | - V) - V (\pm e^{C} | x | - V)$

Этап 6.3.6.4.5.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$V^{2} - 1 = (\pm e^{C} | x |) (\pm e^{C} | x |) + (\pm e^{C} | x |) (- V) - V (\pm e^{C} | x | - V)$

Этап 6.3.6.4.5.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$V^{2} - 1 = (\pm e^{C} | x |) (\pm e^{C} | x |) + (\pm e^{C} | x |) (- V) - V (\pm e^{C} | x |) - V (- V)$

Этап 6.3.6.4.5.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.6.4.5.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.6.4.5.3.1.3.1.1

Умножим $(\pm e^{C} | x |) (\pm e^{C} | x |)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.6.4.5.3.1.3.1.1.1

Возведем $\pm e^{C} | x |$ в степень $1$ .

$V^{2} - 1 = {(\pm e^{C} | x |)}^{1} (\pm e^{C} | x |) + (\pm e^{C} | x |) (- V) - V (\pm e^{C} | x |) - V (- V)$

Этап 6.3.6.4.5.3.1.3.1.1.2

Возведем $\pm e^{C} | x |$ в степень $1$ .

$V^{2} - 1 = {(\pm e^{C} | x |)}^{1} {(\pm e^{C} | x |)}^{1} + (\pm e^{C} | x |) (- V) - V (\pm e^{C} | x |) - V (- V)$

Этап 6.3.6.4.5.3.1.3.1.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$V^{2} - 1 = {(\pm e^{C} | x |)}^{1 + 1} + (\pm e^{C} | x |) (- V) - V (\pm e^{C} | x |) - V (- V)$

Этап 6.3.6.4.5.3.1.3.1.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$V^{2} - 1 = {(\pm e^{C} | x |)}^{2} + (\pm e^{C} | x |) (- V) - V (\pm e^{C} | x |) - V (- V)$

Этап 6.3.6.4.5.3.1.3.1.2

Remove the plus-minus sign on $\pm e^{C} | x |$ because it is raised to an even power.

$V^{2} - 1 = {(e^{C} | x |)}^{2} + (\pm e^{C} | x |) (- V) - V (\pm e^{C} | x |) - V (- V)$

Этап 6.3.6.4.5.3.1.3.1.3

Применим правило умножения к $e^{C} | x |$ .

$V^{2} - 1 = {(e^{C})}^{2} {| x |}^{2} + (\pm e^{C} | x |) (- V) - V (\pm e^{C} | x |) - V (- V)$

Этап 6.3.6.4.5.3.1.3.1.4

Перемножим экспоненты в ${(e^{C})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.6.4.5.3.1.3.1.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V^{2} - 1 = e^{C \cdot 2} {| x |}^{2} + (\pm e^{C} | x |) (- V) - V (\pm e^{C} | x |) - V (- V)$

Этап 6.3.6.4.5.3.1.3.1.4.2

Перенесем $2$ влево от $C$ .

$V^{2} - 1 = e^{2 C} {| x |}^{2} + (\pm e^{C} | x |) (- V) - V (\pm e^{C} | x |) - V (- V)$

Этап 6.3.6.4.5.3.1.3.1.5

Уберем знак модуля в ${| x |}^{2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$V^{2} - 1 = e^{2 C} x^{2} + (\pm e^{C} | x |) (- V) - V (\pm e^{C} | x |) - V (- V)$

Этап 6.3.6.4.5.3.1.3.1.6

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$V^{2} - 1 = e^{2 C} x^{2} - (\pm e^{C} | x |) V - V (\pm e^{C} | x |) - V (- V)$

Этап 6.3.6.4.5.3.1.3.1.7

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$V^{2} - 1 = e^{2 C} x^{2} - (\pm e^{C} | x |) V - V (\pm e^{C} | x |) - 1 \cdot - 1 V \cdot V$

Этап 6.3.6.4.5.3.1.3.1.8

Умножим $V$ на $V$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.6.4.5.3.1.3.1.8.1

Перенесем $V$ .

$V^{2} - 1 = e^{2 C} x^{2} - (\pm e^{C} | x |) V - V (\pm e^{C} | x |) - 1 \cdot - 1 (V \cdot V)$

Этап 6.3.6.4.5.3.1.3.1.8.2

Умножим $V$ на $V$ .

$V^{2} - 1 = e^{2 C} x^{2} - (\pm e^{C} | x |) V - V (\pm e^{C} | x |) - 1 \cdot - 1 V^{2}$

Этап 6.3.6.4.5.3.1.3.1.9

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$V^{2} - 1 = e^{2 C} x^{2} - (\pm e^{C} | x |) V - V (\pm e^{C} | x |) + 1 V^{2}$

Этап 6.3.6.4.5.3.1.3.1.10

Умножим $V^{2}$ на $1$ .

$V^{2} - 1 = e^{2 C} x^{2} - (\pm e^{C} | x |) V - V (\pm e^{C} | x |) + V^{2}$

Этап 6.3.6.4.5.3.1.3.2

Вычтем $V (\pm e^{C} | x |)$ из $- (\pm e^{C} | x |) V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.6.4.5.3.1.3.2.1

Перенесем $\pm e^{C} | x |$ .

$V^{2} - 1 = e^{2 C} x^{2} - 1 V (\pm e^{C} | x |) - V (\pm e^{C} | x |) + V^{2}$

Этап 6.3.6.4.5.3.1.3.2.2

Вычтем $V (\pm e^{C} | x |)$ из $- 1 V (\pm e^{C} | x |)$ .

$V^{2} - 1 = e^{2 C} x^{2} - 2 V (\pm e^{C} | x |) + V^{2}$

Этап 6.3.6.4.5.3.1.4

Изменим порядок множителей в $e^{2 C} x^{2} - 2 V (\pm e^{C} | x |) + V^{2}$ .

$V^{2} - 1 = x^{2} e^{2 C} - 2 V (\pm e^{C} | x |) + V^{2}$

Этап 6.3.6.4.6

Решим относительно $V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.6.4.6.1

Поскольку $V$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$x^{2} e^{2 C} - 2 V (\pm e^{C} | x |) + V^{2} = V^{2} - 1$

Этап 6.3.6.4.6.2

Перенесем все члены с $V$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.6.4.6.2.1

Вычтем $V^{2}$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} e^{2 C} - 2 V (\pm e^{C} | x |) + V^{2} - V^{2} = - 1$

Этап 6.3.6.4.6.2.2

Объединим противоположные члены в $x^{2} e^{2 C} - 2 V (\pm e^{C} | x |) + V^{2} - V^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.6.4.6.2.2.1

Вычтем $V^{2}$ из $V^{2}$ .

$x^{2} e^{2 C} - 2 V (\pm e^{C} | x |) + 0 = - 1$

Этап 6.3.6.4.6.2.2.2

Добавим $x^{2} e^{2 C} - 2 V (\pm e^{C} | x |)$ и $0$ .

$x^{2} e^{2 C} - 2 V (\pm e^{C} | x |) = - 1$

Этап 6.3.6.4.6.3

Вычтем $x^{2} e^{2 C}$ из обеих частей уравнения.

$- 2 V (\pm e^{C} | x |) = - 1 - x^{2} e^{2 C}$

Этап 6.3.6.4.6.4

Разделим каждый член $- 2 V (\pm e^{C} | x |) = - 1 - x^{2} e^{2 C}$ на $- 2 (\pm e^{C} | x |)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.6.4.6.4.1

Разделим каждый член $- 2 V (\pm e^{C} | x |) = - 1 - x^{2} e^{2 C}$ на $- 2 (\pm e^{C} | x |)$ .

$\frac{- 2 V (\pm e^{C} | x |)}{- 2 (\pm e^{C} | x |)} = \frac{- 1}{- 2 (\pm e^{C} | x |)} + \frac{- x^{2} e^{2 C}}{- 2 (\pm e^{C} | x |)}$

Этап 6.3.6.4.6.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.6.4.6.4.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.6.4.6.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 V (\pm e^{C} | x |)}{- 2 (\pm e^{C} | x |)} = \frac{- 1}{- 2 (\pm e^{C} | x |)} + \frac{- x^{2} e^{2 C}}{- 2 (\pm e^{C} | x |)}$

Этап 6.3.6.4.6.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{V (\pm e^{C} | x |)}{\pm e^{C} | x |} = \frac{- 1}{- 2 (\pm e^{C} | x |)} + \frac{- x^{2} e^{2 C}}{- 2 (\pm e^{C} | x |)}$

Этап 6.3.6.4.6.4.2.2

Сократим общий множитель $\pm e^{C} | x |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.6.4.6.4.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{V (\pm e^{C} | x |)}{\pm e^{C} | x |} = \frac{- 1}{- 2 (\pm e^{C} | x |)} + \frac{- x^{2} e^{2 C}}{- 2 (\pm e^{C} | x |)}$

Этап 6.3.6.4.6.4.2.2.2

Разделим $V$ на $1$ .

$V = \frac{- 1}{- 2 (\pm e^{C} | x |)} + \frac{- x^{2} e^{2 C}}{- 2 (\pm e^{C} | x |)}$

Этап 6.3.6.4.6.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.6.4.6.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.6.4.6.4.3.1.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$V = \frac{1}{2 (\pm e^{C} | x |)} + \frac{- x^{2} e^{2 C}}{- 2 (\pm e^{C} | x |)}$

Этап 6.3.6.4.6.4.3.1.2

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$V = \frac{1}{2 (\pm e^{C} | x |)} + \frac{x^{2} e^{2 C}}{2 (\pm e^{C} | x |)}$

Этап 6.4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Упростим постоянную интегрирования.

$V = \frac{1}{2 (\pm C | x |)} + \frac{x^{2} C}{2 (\pm C | x |)}$

Этап 6.4.2

Объединим константы с плюсом или минусом.

$V = \frac{1}{2 (C | x |)} + \frac{x^{2} C}{2 (\pm C | x |)}$

Этап 6.4.3

Объединим константы с плюсом или минусом.

$V = \frac{1}{2 (C | x |)} + \frac{x^{2} C}{2 (C | x |)}$

Этап 7

Подставим $\frac{y}{x}$ вместо $V$ .

$\frac{y}{x} = \frac{1}{2 (C | x |)} + \frac{x^{2} C}{2 (C | x |)}$

Этап 8

Решим $\frac{y}{x} = \frac{1}{2 (C | x |)} + \frac{x^{2} C}{2 (C | x |)}$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим обе части на $x$ .

$\frac{y}{x} x = (\frac{1}{2 C | x |} + \frac{x^{2} C}{2 C | x |}) x$

Этап 8.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{x} x = (\frac{1}{2 C | x |} + \frac{x^{2} C}{2 C | x |}) x$

Этап 8.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y = (\frac{1}{2 C | x |} + \frac{x^{2} C}{2 C | x |}) x$

Этап 8.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Упростим $(\frac{1}{2 C | x |} + \frac{x^{2} C}{2 C | x |}) x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1.1

Сократим общий множитель $C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$y = (\frac{1}{2 C | x |} + \frac{x^{2} C}{2 C | x |}) x$

Этап 8.2.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y = (\frac{1}{2 C | x |} + \frac{x^{2}}{2 | x |}) x$

Этап 8.2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{1}{2 C | x |} x + \frac{x^{2}}{2 | x |} x$

Этап 8.2.2.1.3

Объединим $\frac{1}{2 C | x |}$ и $x$ .

$y = \frac{x}{2 C | x |} + \frac{x^{2}}{2 | x |} x$

Этап 8.2.2.1.4

Умножим $\frac{x^{2}}{2 | x |} x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1.4.1

Объединим $\frac{x^{2}}{2 | x |}$ и $x$ .

$y = \frac{x}{2 C | x |} + \frac{x^{2} x}{2 | x |}$

Этап 8.2.2.1.4.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1.4.2.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1.4.2.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$y = \frac{x}{2 C | x |} + \frac{x^{2} x^{1}}{2 | x |}$

Этап 8.2.2.1.4.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \frac{x}{2 C | x |} + \frac{x^{2 + 1}}{2 | x |}$

Этап 8.2.2.1.4.2.2

Добавим $2$ и $1$ .

$y = \frac{x}{2 C | x |} + \frac{x^{3}}{2 | x |}$