Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{x - 4}{x}$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = \frac{x - 4}{x} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int \frac{x - 4}{x} d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int \frac{x - 4}{x} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим дробь на несколько дробей.

$y + C_{1} = \int \frac{x}{x} + \frac{- 4}{x} d x$

Этап 2.3.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y + C_{1} = \int \frac{x}{x} d x + \int \frac{- 4}{x} d x$

Этап 2.3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1

Сократим общий множитель.

$y + C_{1} = \int \frac{x}{x} d x + \int \frac{- 4}{x} d x$

Этап 2.3.3.1.2

Перепишем это выражение.

$y + C_{1} = \int d x + \int \frac{- 4}{x} d x$

Этап 2.3.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y + C_{1} = \int d x + \int - \frac{4}{x} d x$

Этап 2.3.4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = x + C_{2} + \int - \frac{4}{x} d x$

Этап 2.3.5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = x + C_{2} - \int \frac{4}{x} d x$

Этап 2.3.6

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = x + C_{2} - (4 \int \frac{1}{x} d x)$

Этап 2.3.7

Умножим $4$ на $- 1$ .

$y + C_{1} = x + C_{2} - 4 \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.3.8

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$y + C_{1} = x + C_{2} - 4 (\ln (| x |) + C_{3})$

Этап 2.3.9

Упростим.

$y + C_{1} = x - 4 \ln (| x |) + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$y = x - 4 \ln (| x |) + C$