Математический анализ Примеры

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + \frac{d y}{d x} = x$

Этап 1

Пусть $v = \frac{d y}{d x}$ . Тогда $\frac{d v}{d x} = \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ . Подставим $v$ вместо $\frac{d y}{d x}$ и $\frac{d v}{d x}$ вместо $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ , чтобы получить дифференциальное уравнение с зависимой переменной $v$ и независимой переменной $x$ .

$\frac{d v}{d x} + v = x$

Этап 2

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int d x}$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$e^{x + C_{1}}$

Этап 2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{x}$

Этап 3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член на $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = e^{x} x$

Этап 3.2

Изменим порядок множителей в $e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = e^{x} x$ .

$e^{x} \frac{d v}{d x} + v e^{x} = x e^{x}$

Этап 4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [e^{x} v] = x e^{x}$

Этап 5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} v] d x = \int x e^{x} d x$

Этап 6

Проинтегрируем левую часть.

$e^{x} v = \int x e^{x} d x$

Этап 7

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = e^{x}$ .

$e^{x} v = x e^{x} - \int e^{x} d x$

Этап 7.2

Интеграл $e^{x}$ по $x$ имеет вид $e^{x}$ .

$e^{x} v = x e^{x} - (e^{x} + C_{2})$

Этап 7.3

Упростим.

$e^{x} v = x e^{x} - e^{x} + C_{2}$

Этап 8

Разделим каждый член $e^{x} v = x e^{x} - e^{x} + C_{2}$ на $e^{x}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим каждый член $e^{x} v = x e^{x} - e^{x} + C_{2}$ на $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} v}{e^{x}} = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Этап 8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сократим общий множитель $e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{x} v}{e^{x}} = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Этап 8.2.1.2

Разделим $v$ на $1$ .

$v = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Этап 8.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Сократим общий множитель $e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$v = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Этап 8.3.1.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$v = x + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Этап 8.3.1.2

Сократим общий множитель $e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$v = x + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Этап 8.3.1.2.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

$v = x - 1 + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Этап 9

Заменим все вхождения $v$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = x - 1 + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Этап 10

Перепишем уравнение.

$d y = (x - 1 + \frac{C_{2}}{e^{x}}) d x$

Этап 11

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int x - 1 + \frac{C_{2}}{e^{x}} d x$

Этап 11.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{3} = \int x - 1 + \frac{C_{2}}{e^{x}} d x$

Этап 11.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y + C_{3} = \int x d x + \int - 1 d x + \int \frac{C_{2}}{e^{x}} d x$

Этап 11.3.2

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + \int - 1 d x + \int \frac{C_{2}}{e^{x}} d x$

Этап 11.3.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} - x + C_{5} + \int \frac{C_{2}}{e^{x}} d x$

Этап 11.3.4

Поскольку $C_{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $C_{2}$ из-под знака интеграла.

$y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} - x + C_{5} + C_{2} \int \frac{1}{e^{x}} d x$

Этап 11.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.5.1

Поменяем знак экспоненты $e^{x}$ и вынесем ее из знаменателя.

$y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} - x + C_{5} + C_{2} \int 1 {(e^{x})}^{- 1} d x$

Этап 11.3.5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.5.2.1

Перемножим экспоненты в ${(e^{x})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.5.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} - x + C_{5} + C_{2} \int 1 e^{x \cdot - 1} d x$

Этап 11.3.5.2.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} - x + C_{5} + C_{2} \int 1 e^{- 1 \cdot x} d x$

Этап 11.3.5.2.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} - x + C_{5} + C_{2} \int 1 e^{- x} d x$

Этап 11.3.5.2.2

Умножим $e^{- x}$ на $1$ .

$y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} - x + C_{5} + C_{2} \int e^{- x} d x$

Этап 11.3.6

Пусть $u = - x$ . Тогда $d u = - d x$ , следовательно $- d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.6.1

Пусть $u = - x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.6.1.1

Дифференцируем $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Этап 11.3.6.1.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Этап 11.3.6.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Этап 11.3.6.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 11.3.6.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} - x + C_{5} + C_{2} \int - e^{u} d u$

Этап 11.3.7

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} - x + C_{5} + C_{2} (- \int e^{u} d u)$

Этап 11.3.8

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} - x + C_{5} + C_{2} (- (e^{u} + C_{6}))$

Этап 11.3.9

Упростим.

$y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} - x + C_{2} (- e^{u}) + C_{7}$

Этап 11.3.10

Заменим все вхождения $u$ на $- x$ .

$y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} - x + C_{2} (- e^{- x}) + C_{7}$

Этап 11.3.11

Изменим порядок членов.

$y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} - e^{- x} C_{2} - x + C_{7}$

Этап 11.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $D$ .

$y = \frac{1}{2} x^{2} - e^{- x} C - x + D$