Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} - x y + y^{2}}{x y}$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде функции от $\frac{y}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим $\frac{x^{2} - x y + y^{2}}{x y}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Разобьем дробь $\frac{x^{2} - x y + y^{2}}{x y}$ на две дроби.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} - x y}{x y} + \frac{y^{2}}{x y}$

Этап 1.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} - x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x - x y}{x y} + \frac{y^{2}}{x y}$

Этап 1.1.2.1.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x + x (- 1 y)}{x y} + \frac{y^{2}}{x y}$

Этап 1.1.2.1.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x (- 1 y)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (x - 1 y)}{x y} + \frac{y^{2}}{x y}$

Этап 1.1.2.1.2

Перепишем $- 1 y$ в виде $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (x - y)}{x y} + \frac{y^{2}}{x y}$

Этап 1.1.2.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (x - y)}{x y} + \frac{y^{2}}{x y}$

Этап 1.1.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x - y}{y} + \frac{y^{2}}{x y}$

Этап 1.1.2.3

Разобьем дробь $\frac{x - y}{y}$ на две дроби.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} + \frac{- y}{y} + \frac{y^{2}}{x y}$

Этап 1.1.2.4

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} + \frac{- y}{y} + \frac{y^{2}}{x y}$

Этап 1.1.2.4.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} - 1 + \frac{y^{2}}{x y}$

Этап 1.1.2.5

Сократим общий множитель $y^{2}$ и $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.1

Вынесем множитель $y$ из $y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} - 1 + \frac{y \cdot y}{x y}$

Этап 1.1.2.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.2.1

Вынесем множитель $y$ из $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} - 1 + \frac{y \cdot y}{y x}$

Этап 1.1.2.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} - 1 + \frac{y \cdot y}{y x}$

Этап 1.1.2.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} - 1 + \frac{y}{x}$

Этап 1.2

Перепишем $\frac{x}{y}$ в виде ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = {(\frac{y}{x})}^{- 1} - 1 + \frac{y}{x}$

Этап 2

Пусть $V = \frac{y}{x}$ . Подставим $V$ вместо $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V^{- 1} - 1 + V$

Этап 3

Решим $V = \frac{y}{x}$ относительно $y$ .

$y = V x$

Этап 4

Применим правило умножения, чтобы найти производную $y = V x$ по $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Этап 5

Подставим $x \frac{d V}{d x} + V$ вместо $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V^{- 1} - 1 + V$

Этап 6

Решим подставленное дифференциальное уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Решим относительно $\frac{d V}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1}{V} - 1 + V$

Этап 6.1.1.2

Перенесем все члены без $\frac{d V}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.2.1

Вычтем $V$ из обеих частей уравнения.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} - 1 + V - V$

Этап 6.1.1.2.2

Объединим противоположные члены в $\frac{1}{V} - 1 + V - V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.2.2.1

Вычтем $V$ из $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} - 1 + 0$

Этап 6.1.1.2.2.2

Добавим $\frac{1}{V} - 1$ и $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} - 1$

Этап 6.1.1.3

Разделим каждый член $x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} - 1$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.1

Разделим каждый член $x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} - 1$ на $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{V}}{x} + \frac{- 1}{x}$

Этап 6.1.1.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{V}}{x} + \frac{- 1}{x}$

Этап 6.1.1.3.2.1.2

Разделим $\frac{d V}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{V}}{x} + \frac{- 1}{x}$

Этап 6.1.1.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.3.1.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} \cdot \frac{1}{x} + \frac{- 1}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.1.2

Умножим $\frac{1}{V}$ на $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V x} + \frac{- 1}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V x} - \frac{1}{x}$

Этап 6.1.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Чтобы записать $- \frac{1}{x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{V}{V}$

Этап 6.1.2.2

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $V x$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.2.1

Умножим $\frac{1}{x}$ на $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V x} - \frac{V}{x V}$

Этап 6.1.2.2.2

Изменим порядок множителей в $x V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V x} - \frac{V}{V x}$

Этап 6.1.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 - V}{V x}$

Этап 6.1.3

Перегруппируем множители.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 - V}{V} \cdot \frac{1}{x}$

Этап 6.1.4

Умножим обе части на $\frac{V}{1 - V}$ .

$\frac{V}{1 - V} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 - V} (\frac{1 - V}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Этап 6.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.5.1

Умножим $\frac{1 - V}{V}$ на $\frac{1}{x}$ .

$\frac{V}{1 - V} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 - V} \cdot \frac{1 - V}{V x}$

Этап 6.1.5.2

Сократим общий множитель $V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.5.2.1

Вынесем множитель $V$ из $V x$ .

$\frac{V}{1 - V} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 - V} \cdot \frac{1 - V}{V (x)}$

Этап 6.1.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{V}{1 - V} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 - V} \cdot \frac{1 - V}{V x}$

Этап 6.1.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{V}{1 - V} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{1 - V} \cdot \frac{1 - V}{x}$

Этап 6.1.5.3

Сократим общий множитель $1 - V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.5.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{V}{1 - V} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{1 - V} \cdot \frac{1 - V}{x}$

Этап 6.1.5.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{V}{1 - V} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Этап 6.1.6

Перепишем уравнение.

$\frac{V}{1 - V} d V = \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{V}{1 - V} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Изменим порядок $1$ и $- V$ .

$\int \frac{V}{- V + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.2

Разделим $V$ на $- V + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$V$

$1$

$V$

$0$

Этап 6.2.2.2.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $V$ на член с максимальной степенью в делителе $- V$ .

				-	$1$
-	$V$	+	$1$		$V$	+	$0$

Этап 6.2.2.2.3

Умножим новое частное на делитель.

				-	$1$
-	$V$	+	$1$		$V$	+	$0$
				+	$V$	-	$1$

Этап 6.2.2.2.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $V - 1$ .

				-	$1$
-	$V$	+	$1$		$V$	+	$0$
				-	$V$	+	$1$

Этап 6.2.2.2.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				-	$1$
-	$V$	+	$1$		$V$	+	$0$
				-	$V$	+	$1$
						+	$1$

Этап 6.2.2.2.6

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$\int - 1 + \frac{1}{- V + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int - 1 d V + \int \frac{1}{- V + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- V + C_{1} + \int \frac{1}{- V + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.5

Пусть $u = - V + 1$ . Тогда $d u = - d V$ , следовательно $- d u = d V$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.5.1

Пусть $u = - V + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d V}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.5.1.1

Перепишем.

$\frac{- 1}{1}$

Этап 6.2.2.5.1.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 6.2.2.5.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$- V + C_{1} + \int \frac{- 1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- V + C_{1} + \int - \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.7

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- V + C_{1} - \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.8

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$- V + C_{1} - (\ln (| u |) + C_{2}) = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.9

Упростим.

$- V - \ln (| u |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.10

Заменим все вхождения $u$ на $- V + 1$ .

$- V - \ln (| - V + 1 |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.3

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$- V - \ln (| - V + 1 |) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4}$

Этап 6.2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$- V - \ln (| - V + 1 |) = \ln (| x |) + C$

Этап 7

Подставим $\frac{y}{x}$ вместо $V$ .

$- \frac{y}{x} - \ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = \ln (| x |) + C$

Этап 8

Решим $- \frac{y}{x} - \ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = \ln (| x |) + C$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$- \ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) - \ln (| x |) = \frac{y}{x} + C$

Этап 8.2

Добавим $\ln (| x |)$ к обеим частям уравнения.

$- \ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = \frac{y}{x} + C + \ln (| x |)$

Этап 8.3

Разделим каждый член $- \ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = \frac{y}{x} + C + \ln (| x |)$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Разделим каждый член $- \ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = \frac{y}{x} + C + \ln (| x |)$ на $- 1$ .

$\frac{- \ln (| - \frac{y}{x} + 1 |)}{- 1} = \frac{\frac{y}{x}}{- 1} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Этап 8.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\ln (| - \frac{y}{x} + 1 |)}{1} = \frac{\frac{y}{x}}{- 1} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Этап 8.3.2.2

Разделим $\ln (| - \frac{y}{x} + 1 |)$ на $1$ .

$\ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = \frac{\frac{y}{x}}{- 1} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Этап 8.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.1.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\frac{y}{x}}{- 1}$ .

$\ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = - 1 \cdot \frac{y}{x} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Этап 8.3.3.1.2

Перепишем $- 1 \cdot \frac{y}{x}$ в виде $- \frac{y}{x}$ .

$\ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = - \frac{y}{x} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Этап 8.3.3.1.3

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = - \frac{y}{x} - 1 \cdot C + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Этап 8.3.3.1.4

Перепишем $- 1 \cdot C$ в виде $- C$ .

$\ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = - \frac{y}{x} - C + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Этап 8.3.3.1.5

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\ln (| x |)}{- 1}$ .

$\ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = - \frac{y}{x} - C - 1 \cdot \ln (| x |)$

Этап 8.3.3.1.6

Перепишем $- 1 \cdot \ln (| x |)$ в виде $- \ln (| x |)$ .

$\ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = - \frac{y}{x} - C - \ln (| x |)$

Этап 8.4

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) + \ln (| x |) = - \frac{y}{x} - C$

Этап 8.5

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| - \frac{y}{x} + 1 | | x |) = - \frac{y}{x} - C$

Этап 8.6

Для перемножения модулей следует перемножить члены внутри каждого модуля.

$\ln (| (- \frac{y}{x} + 1) x |) = - \frac{y}{x} - C$

Этап 8.7

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (| - \frac{y}{x} \cdot x + 1 x |) = - \frac{y}{x} - C$

Этап 8.8

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.8.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{y}{x}$ в числитель.

$\ln (| \frac{- y}{x} \cdot x + 1 x |) = - \frac{y}{x} - C$

Этап 8.8.2

Сократим общий множитель.

$\ln (| \frac{- y}{x} \cdot x + 1 x |) = - \frac{y}{x} - C$

Этап 8.8.3

Перепишем это выражение.

$\ln (| - y + 1 x |) = - \frac{y}{x} - C$

Этап 8.9

Умножим $x$ на $1$ .

$\ln (| - y + x |) = - \frac{y}{x} - C$