Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d t} - \frac{9}{t} \cdot y = t^{5}$

Этап 1

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (t) d t}$ , где $P (t) = - \frac{9}{t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int - \frac{9}{t} d t}$

Этап 1.2

Проинтегрируем $- \frac{9}{t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$e^{- \int \frac{9}{t} d t}$

Этап 1.2.2

Поскольку $9$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $9$ из-под знака интеграла.

$e^{- (9 \int \frac{1}{t} d t)}$

Этап 1.2.3

Умножим $9$ на $- 1$ .

$e^{- 9 \int \frac{1}{t} d t}$

Этап 1.2.4

Интеграл $\frac{1}{t}$ по $t$ имеет вид $\ln (| t |)$ .

$e^{- 9 (\ln (| t |) + C)}$

Этап 1.2.5

Упростим.

$e^{- 9 \ln (| t |) + C}$

Этап 1.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{- 9 \ln (t)}$

Этап 1.4

Применим правило степени для логарифма.

$e^{\ln (t^{- 9})}$

Этап 1.5

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$t^{- 9}$

Этап 1.6

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{t^{9}}$

Этап 2

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $\frac{1}{t^{9}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член на $\frac{1}{t^{9}}$ .

$\frac{1}{t^{9}} \frac{d y}{d t} + \frac{1}{t^{9}} (- \frac{9}{t} \cdot y) = \frac{1}{t^{9}} t^{5}$

Этап 2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Объединим $\frac{1}{t^{9}}$ и $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{\frac{d y}{d t}}{t^{9}} + \frac{1}{t^{9}} (- \frac{9}{t} \cdot y) = \frac{1}{t^{9}} t^{5}$

Этап 2.2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{\frac{d y}{d t}}{t^{9}} - \frac{1}{t^{9}} (\frac{9}{t} y) = \frac{1}{t^{9}} t^{5}$

Этап 2.2.3

Объединим $\frac{9}{t}$ и $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d t}}{t^{9}} - \frac{1}{t^{9}} \cdot \frac{9 y}{t} = \frac{1}{t^{9}} t^{5}$

Этап 2.2.4

Умножим $- \frac{1}{t^{9}} \cdot \frac{9 y}{t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Умножим $\frac{9 y}{t}$ на $\frac{1}{t^{9}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d t}}{t^{9}} - \frac{9 y}{t \cdot t^{9}} = \frac{1}{t^{9}} t^{5}$

Этап 2.2.4.2

Умножим $t$ на $t^{9}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.2.1

Умножим $t$ на $t^{9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.2.1.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d t}}{t^{9}} - \frac{9 y}{t^{1} t^{9}} = \frac{1}{t^{9}} t^{5}$

Этап 2.2.4.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{d y}{d t}}{t^{9}} - \frac{9 y}{t^{1 + 9}} = \frac{1}{t^{9}} t^{5}$

Этап 2.2.4.2.2

Добавим $1$ и $9$ .

$\frac{\frac{d y}{d t}}{t^{9}} - \frac{9 y}{t^{10}} = \frac{1}{t^{9}} t^{5}$

Этап 2.3

Сократим общий множитель $t^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Вынесем множитель $t^{5}$ из $t^{9}$ .

$\frac{\frac{d y}{d t}}{t^{9}} - \frac{9 y}{t^{10}} = \frac{1}{t^{5} t^{4}} t^{5}$

Этап 2.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{d y}{d t}}{t^{9}} - \frac{9 y}{t^{10}} = \frac{1}{t^{5} t^{4}} t^{5}$

Этап 2.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{d y}{d t}}{t^{9}} - \frac{9 y}{t^{10}} = \frac{1}{t^{4}}$

Этап 3

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{9}} y] = \frac{1}{t^{4}}$

Этап 4

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{9}} y] d t = \int \frac{1}{t^{4}} d t$

Этап 5

Проинтегрируем левую часть.

$\frac{1}{t^{9}} y = \int \frac{1}{t^{4}} d t$

Этап 6

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Вынесем $t^{4}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{1}{t^{9}} y = \int {(t^{4})}^{- 1} d t$

Этап 6.1.2

Перемножим экспоненты в ${(t^{4})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{t^{9}} y = \int t^{4 \cdot - 1} d t$

Этап 6.1.2.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{1}{t^{9}} y = \int t^{- 4} d t$

Этап 6.2

По правилу степени интеграл $t^{- 4}$ по $t$ имеет вид $- \frac{1}{3} t^{- 3}$ .

$\frac{1}{t^{9}} y = - \frac{1}{3} t^{- 3} + C$

Этап 6.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Перепишем $- \frac{1}{3} t^{- 3} + C$ в виде $- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{t^{3}} + C$ .

$\frac{1}{t^{9}} y = - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{t^{3}} + C$

Этап 6.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Умножим $\frac{1}{t^{3}}$ на $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{t^{9}} y = - \frac{1}{t^{3} \cdot 3} + C$

Этап 6.3.2.2

Перенесем $3$ влево от $t^{3}$ .

$\frac{1}{t^{9}} y = - \frac{1}{3 t^{3}} + C$

Этап 7

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перенесем все члены с переменными в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Добавим $\frac{1}{3 t^{3}}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{1}{t^{9}} y + \frac{1}{3 t^{3}} = C$

Этап 7.1.2

Вычтем $C$ из обеих частей уравнения.

$\frac{1}{t^{9}} y + \frac{1}{3 t^{3}} - C = 0$

Этап 7.1.3

Объединим $\frac{1}{t^{9}}$ и $y$ .

$\frac{y}{t^{9}} + \frac{1}{3 t^{3}} - C = 0$

Этап 7.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Вычтем $\frac{1}{3 t^{3}}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{y}{t^{9}} - C = - \frac{1}{3 t^{3}}$

Этап 7.2.2

Добавим $C$ к обеим частям уравнения.

$\frac{y}{t^{9}} = - \frac{1}{3 t^{3}} + C$

Этап 7.3

Умножим обе части на $t^{9}$ .

$\frac{y}{t^{9}} t^{9} = (- \frac{1}{3 t^{3}} + C) t^{9}$

Этап 7.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1.1

Сократим общий множитель $t^{9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{t^{9}} t^{9} = (- \frac{1}{3 t^{3}} + C) t^{9}$

Этап 7.4.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y = (- \frac{1}{3 t^{3}} + C) t^{9}$

Этап 7.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1

Упростим $(- \frac{1}{3 t^{3}} + C) t^{9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - \frac{1}{3 t^{3}} t^{9} + C t^{9}$

Этап 7.4.2.1.2

Сократим общий множитель $t^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{3 t^{3}}$ в числитель.

$y = \frac{- 1}{3 t^{3}} t^{9} + C t^{9}$

Этап 7.4.2.1.2.2

Вынесем множитель $t^{3}$ из $3 t^{3}$ .

$y = \frac{- 1}{t^{3} \cdot 3} t^{9} + C t^{9}$

Этап 7.4.2.1.2.3

Вынесем множитель $t^{3}$ из $t^{9}$ .

$y = \frac{- 1}{t^{3} \cdot 3} (t^{3} t^{6}) + C t^{9}$

Этап 7.4.2.1.2.4

Сократим общий множитель.

$y = \frac{- 1}{t^{3} \cdot 3} (t^{3} t^{6}) + C t^{9}$

Этап 7.4.2.1.2.5

Перепишем это выражение.

$y = \frac{- 1}{3} t^{6} + C t^{9}$

Этап 7.4.2.1.3

Объединим $\frac{- 1}{3}$ и $t^{6}$ .

$y = \frac{- t^{6}}{3} + C t^{9}$

Этап 7.4.2.1.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1.4.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{t^{6}}{3} + C t^{9}$

Этап 7.4.2.1.4.2

Изменим порядок $- \frac{t^{6}}{3}$ и $C t^{9}$ .

$y = C t^{9} - \frac{t^{6}}{3}$