Математический анализ Примеры

$x \frac{d y}{d x} + y = 3 x^{2}$

Этап 1

Проверим, является ли левая часть уравнения результатом дифференцирования члена $x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

Этап 1.4

Подставим $\frac{d y}{d x}$ вместо $y'$ .

$x \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

Этап 1.5

Изменим порядок $y$ и $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

Этап 1.6

Умножим $y$ на $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + y$

Этап 2

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [x y] = 3 x^{2}$

Этап 3

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int 3 x^{2} d x$

Этап 4

Проинтегрируем левую часть.

$x y = \int 3 x^{2} d x$

Этап 5

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$x y = 3 \int x^{2} d x$

Этап 5.2

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$x y = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Этап 5.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Перепишем $3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ в виде $3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$ .

$x y = 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Этап 5.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Объединим $3$ и $\frac{1}{3}$ .

$x y = \frac{3}{3} x^{3} + C$

Этап 5.3.2.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$x y = \frac{3}{3} x^{3} + C$

Этап 5.3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$x y = 1 x^{3} + C$

Этап 5.3.2.3

Умножим $x^{3}$ на $1$ .

$x y = x^{3} + C$

Этап 6

Разделим каждый член $x y = x^{3} + C$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим каждый член $x y = x^{3} + C$ на $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{x^{3}}{x} + \frac{C}{x}$

Этап 6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x y}{x} = \frac{x^{3}}{x} + \frac{C}{x}$

Этап 6.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{x^{3}}{x} + \frac{C}{x}$

Этап 6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Сократим общий множитель $x^{3}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$y = \frac{x \cdot x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Этап 6.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$y = \frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} + \frac{C}{x}$

Этап 6.3.1.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$y = \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Этап 6.3.1.2.3

Сократим общий множитель.

$y = \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Этап 6.3.1.2.4

Перепишем это выражение.

$y = \frac{x^{2}}{1} + \frac{C}{x}$

Этап 6.3.1.2.5

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$y = x^{2} + \frac{C}{x}$