Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = (1 + y^{2}) \tan (x)$ , $y (0) = \sqrt{3}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{1 + y^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) \tan (x))$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $1 + y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $1 + y^{2}$ из $(1 + y^{2}) \tan (x)$ .

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) (\tan (x)))$

Этап 1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) \tan (x))$

Этап 1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \tan (x)$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = \tan (x) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int \tan (x) d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int \tan (x) d x$

Этап 2.2.2

Интеграл $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ по $y$ имеет вид $\arctan (y) + C_{1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int \tan (x) d x$

Этап 2.3

Интеграл $\tan (x)$ по $x$ имеет вид $\ln (| \sec (x) |)$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \ln (| \sec (x) |) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\arctan (y) = \ln (| \sec (x) |) + C$

Этап 3

Возьмем обратную арктангенса обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из арктангенса.

$y = \tan (\ln (| \sec (x) |) + C)$

Этап 4

Используем начальное условие, чтобы найти значение $C$ , подставив $0$ вместо $x$ и $\sqrt{3}$ вместо $y$ в $y = \tan (\ln (| \sec (x) |) + C)$ .

$\sqrt{3} = \tan (\ln (| \sec (0) |) + C)$

Этап 5

Решим относительно $C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $\tan (\ln (| \sec (0) |) + C) = \sqrt{3}$ .

$\tan (\ln (| \sec (0) |) + C) = \sqrt{3}$

Этап 5.2

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $C$ из тангенса.

$| \sec (0) | = \arctan (\sqrt{3})$

Этап 5.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Упростим $| \sec (0) |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Точное значение $\sec (0)$ : $1$ .

$| 1 | = \arctan (\sqrt{3})$

Этап 5.3.1.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$1 = \arctan (\sqrt{3})$

Этап 5.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Точное значение $\arctan (\sqrt{3})$ : $\frac{π}{3}$ .

$1 = \frac{π}{3}$

Этап 5.5

Разделим $3.14159265$ на $3$ .

$1 = 1.04719755$

Этап 5.6

Поскольку $1 \neq 1.04719755$ , решения отсутствуют.

Нет решения

Этап 5.7

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$1 = π + \frac{π}{3}$

Этап 5.8

Решим относительно $C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1

Упростим $(3.14159265) + \frac{3.14159265}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1.1

Разделим $3.14159265$ на $3$ .

$1 = 3.14159265 + 1.04719755$

Этап 5.8.1.2

Добавим $3.14159265$ и $1.04719755$ .

$1 = 4.1887902$

Этап 5.8.2

Поскольку $1 \neq 4.1887902$ , решения отсутствуют.

$Нет решения$