Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x^{2}}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Решим относительно $\frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вычтем $\frac{1}{x^{2}}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} = 0$

Этап 1.1.2

Перенесем все члены без $\frac{d y}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вычтем $\frac{y}{x^{2}}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d y}{d x} - \frac{1}{x^{2}} = - \frac{y}{x^{2}}$

Этап 1.1.2.2

Добавим $\frac{1}{x^{2}}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}$

Этап 1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y + 1}{x^{2}}$

Этап 1.3

Умножим обе части на $\frac{1}{- y + 1}$ .

$\frac{1}{- y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- y + 1} \cdot \frac{- y + 1}{x^{2}}$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Умножим $\frac{1}{- y + 1}$ на $\frac{- y + 1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{- y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- y + 1}{(- y + 1) x^{2}}$

Этап 1.4.2

Сократим общий множитель $- y + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{- y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- y + 1}{(- y + 1) x^{2}}$

Этап 1.4.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{- y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{2}}$

Этап 1.5

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{- y + 1} d y = \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{- y + 1} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть $u = - y + 1$ . Тогда $d u = - d y$ , следовательно $- d u = d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Пусть $u = - y + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Перепишем.

$\frac{- 1}{1}$

Этап 2.2.1.1.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 2.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 2.2.2

Разделим дробь на несколько дробей.

$\int - \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 2.2.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 2.2.4

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 2.2.5

Упростим.

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 2.2.6

Заменим все вхождения $u$ на $- y + 1$ .

$- \ln (| - y + 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$- \ln (| - y + 1 |) + C_{1} = \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 2.3.1.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \ln (| - y + 1 |) + C_{1} = \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Этап 2.3.1.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- \ln (| - y + 1 |) + C_{1} = \int x^{- 2} d x$

Этап 2.3.2

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$- \ln (| - y + 1 |) + C_{1} = - x^{- 1} + C_{2}$

Этап 2.3.3

Перепишем $- x^{- 1} + C_{2}$ в виде $- \frac{1}{x} + C_{2}$ .

$- \ln (| - y + 1 |) + C_{1} = - \frac{1}{x} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$- \ln (| - y + 1 |) = - \frac{1}{x} + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член $- \ln (| - y + 1 |) = - \frac{1}{x} + C$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Разделим каждый член $- \ln (| - y + 1 |) = - \frac{1}{x} + C$ на $- 1$ .

$\frac{- \ln (| - y + 1 |)}{- 1} = \frac{- \frac{1}{x}}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Этап 3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\ln (| - y + 1 |)}{1} = \frac{- \frac{1}{x}}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Этап 3.1.2.2

Разделим $\ln (| - y + 1 |)$ на $1$ .

$\ln (| - y + 1 |) = \frac{- \frac{1}{x}}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Этап 3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\ln (| - y + 1 |) = \frac{\frac{1}{x}}{1} + \frac{C}{- 1}$

Этап 3.1.3.1.2

Разделим $\frac{1}{x}$ на $1$ .

$\ln (| - y + 1 |) = \frac{1}{x} + \frac{C}{- 1}$

Этап 3.1.3.1.3

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| - y + 1 |) = \frac{1}{x} - 1 \cdot C$

Этап 3.1.3.1.4

Перепишем $- 1 \cdot C$ в виде $- C$ .

$\ln (| - y + 1 |) = \frac{1}{x} - C$

Этап 3.2

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| - y + 1 |)} = e^{\frac{1}{x} - C}$

Этап 3.3

Перепишем $\ln (| - y + 1 |) = \frac{1}{x} - C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{x} - C} = | - y + 1 |$

Этап 3.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем уравнение в виде $| - y + 1 | = e^{\frac{1}{x} - C}$ .

$| - y + 1 | = e^{\frac{1}{x} - C}$

Этап 3.4.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$- y + 1 = \pm e^{\frac{1}{x} - C}$

Этап 3.4.3

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- y = \pm e^{\frac{1}{x} - C} - 1$

Этап 3.4.4

Разделим каждый член $- y = \pm e^{\frac{1}{x} - C} - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Разделим каждый член $- y = \pm e^{\frac{1}{x} - C} - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\pm e^{\frac{1}{x} - C}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Этап 3.4.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{y}{1} = \frac{\pm e^{\frac{1}{x} - C}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Этап 3.4.4.2.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{1}{x} - C}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Этап 3.4.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.3.1.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\pm e^{\frac{1}{x} - C}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (\pm e^{\frac{1}{x} - C}) + \frac{- 1}{- 1}$

Этап 3.4.4.3.1.2

Перепишем $- 1 \cdot (\pm e^{\frac{1}{x} - C})$ в виде $- (\pm e^{\frac{1}{x} - C})$ .

$y = - (\pm e^{\frac{1}{x} - C}) + \frac{- 1}{- 1}$

Этап 3.4.4.3.1.3

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$y = - (\pm e^{\frac{1}{x} - C}) + 1$

Этап 4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим постоянную интегрирования.

$y = - (\pm e^{\frac{1}{x} + C}) + 1$

Этап 4.2

Перепишем $e^{\frac{1}{x} + C}$ в виде $e^{\frac{1}{x}} e^{C}$ .

$y = - (\pm e^{\frac{1}{x}} e^{C}) + 1$

Этап 4.3

Изменим порядок $e^{\frac{1}{x}}$ и $e^{C}$ .

$y = - (\pm e^{C} e^{\frac{1}{x}}) + 1$

Этап 4.4

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = - (C e^{\frac{1}{x}}) + 1$