Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 2 y^{2}}{2 x y}$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде функции от $\frac{y}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим $\frac{x^{2} + 2 y^{2}}{2 x y}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Разобьем дробь $\frac{x^{2} + 2 y^{2}}{2 x y}$ на две дроби.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{2 x y} + \frac{2 y^{2}}{2 x y}$

Этап 1.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{2 x y} + \frac{2 y^{2}}{2 x y}$

Этап 1.1.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.2.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x (2 y)} + \frac{2 y^{2}}{2 x y}$

Этап 1.1.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x (2 y)} + \frac{2 y^{2}}{2 x y}$

Этап 1.1.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 y} + \frac{2 y^{2}}{2 x y}$

Этап 1.1.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 y} + \frac{2 y^{2}}{2 x y}$

Этап 1.1.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 y} + \frac{y^{2}}{x y}$

Этап 1.1.2.3

Сократим общий множитель $y^{2}$ и $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Вынесем множитель $y$ из $y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 y} + \frac{y \cdot y}{x y}$

Этап 1.1.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.2.1

Вынесем множитель $y$ из $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 y} + \frac{y \cdot y}{y x}$

Этап 1.1.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 y} + \frac{y \cdot y}{y x}$

Этап 1.1.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 y} + \frac{y}{x}$

Этап 1.2

Перепишем дифференциальное уравнение в виде $f (\frac{y}{x})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $\frac{x}{y}$ из $\frac{x}{2 y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Вынесем множитель $\frac{x}{y}$ из $\frac{x}{2 y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} \cdot \frac{1}{2} + \frac{y}{x}$

Этап 1.2.1.2

Изменим порядок $\frac{x}{y}$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{x}{y} + \frac{y}{x}$

Этап 1.2.2

Перепишем $\frac{x}{y}$ в виде ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} {(\frac{y}{x})}^{- 1} + \frac{y}{x}$

Этап 2

Пусть $V = \frac{y}{x}$ . Подставим $V$ вместо $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} V^{- 1} + V$

Этап 3

Решим $V = \frac{y}{x}$ относительно $y$ .

$y = V x$

Этап 4

Применим правило умножения, чтобы найти производную $y = V x$ по $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Этап 5

Подставим $x \frac{d V}{d x} + V$ вместо $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1}{2} V^{- 1} + V$

Этап 6

Решим подставленное дифференциальное уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Решим относительно $\frac{d V}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{V} + V$

Этап 6.1.1.1.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{V}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1}{2 V} + V$

Этап 6.1.1.2

Перенесем все члены без $\frac{d V}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.2.1

Вычтем $V$ из обеих частей уравнения.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 V} + V - V$

Этап 6.1.1.2.2

Объединим противоположные члены в $\frac{1}{2 V} + V - V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.2.2.1

Вычтем $V$ из $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 V} + 0$

Этап 6.1.1.2.2.2

Добавим $\frac{1}{2 V}$ и $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 V}$

Этап 6.1.1.3

Разделим каждый член $x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 V}$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.1

Разделим каждый член $x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 V}$ на $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{2 V}}{x}$

Этап 6.1.1.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{2 V}}{x}$

Этап 6.1.1.3.2.1.2

Разделим $\frac{d V}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 V} \cdot \frac{1}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.2

Умножим $\frac{1}{2 V}$ на $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 V x}$

Этап 6.1.2

Перегруппируем множители.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 V} \cdot \frac{1}{x}$

Этап 6.1.3

Умножим обе части на $2 V$ .

$2 V \frac{d V}{d x} = 2 V (\frac{1}{2 V} \cdot \frac{1}{x})$

Этап 6.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.1

Умножим $\frac{1}{2 V}$ на $\frac{1}{x}$ .

$2 V \frac{d V}{d x} = 2 V \frac{1}{2 V x}$

Этап 6.1.4.2

Сократим общий множитель $2 V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.2.1

Вынесем множитель $2 V$ из $2 V x$ .

$2 V \frac{d V}{d x} = 2 V \frac{1}{2 V (x)}$

Этап 6.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$2 V \frac{d V}{d x} = 2 V \frac{1}{2 V x}$

Этап 6.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$2 V \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Этап 6.1.5

Перепишем уравнение.

$2 V d V = \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int 2 V d V = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $V$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int V d V = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.2

По правилу степени интеграл $V$ по $V$ имеет вид $\frac{1}{2} V^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} V^{2} + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.3.1

Перепишем $2 (\frac{1}{2} V^{2} + C_{1})$ в виде $2 (\frac{1}{2}) V^{2} + C_{1}$ .

$2 (\frac{1}{2}) V^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.3.2.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} V^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.3.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{2} V^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$1 V^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.3.2.3

Умножим $V^{2}$ на $1$ .

$V^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.3

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$V^{2} + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Этап 6.2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$V^{2} = \ln (| x |) + C$

Этап 6.3

Решим относительно $V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$V = \pm \sqrt{\ln (| x |) + C}$

Этап 6.3.2

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$V = \sqrt{\ln (| x |) + C}$

Этап 6.3.2.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$V = - \sqrt{\ln (| x |) + C}$

Этап 6.3.2.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$V = \sqrt{\ln (| x |) + C}$

$V = - \sqrt{\ln (| x |) + C}$

$V = \sqrt{\ln (| x |) + C}$

$V = - \sqrt{\ln (| x |) + C}$

$V = \sqrt{\ln (| x |) + C}$

$V = - \sqrt{\ln (| x |) + C}$

$V = \sqrt{\ln (| x |) + C}$

$V = - \sqrt{\ln (| x |) + C}$

Этап 7

Подставим $\frac{y}{x}$ вместо $V$ .

$\frac{y}{x} = \sqrt{\ln (| x |) + C}, - \sqrt{\ln (| x |) + C}$

Этап 8

Решим $\frac{y}{x} = \sqrt{\ln (| x |) + C}$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перепишем.

$\frac{y}{x} = \sqrt{\ln (| x |) + C}$

Этап 8.2

Умножим обе части на $x$ .

$\frac{y}{x} x = \sqrt{\ln (| x |) + C} x$

Этап 8.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{x} x = \sqrt{\ln (| x |) + C} x$

Этап 8.3.1.2

Перепишем это выражение.

$y = \sqrt{\ln (| x |) + C} x$

Этап 9

Решим $\frac{y}{x} = - \sqrt{\ln (| x |) + C}$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перепишем.

$\frac{y}{x} = - \sqrt{\ln (| x |) + C}$

Этап 9.2

Умножим обе части на $x$ .

$\frac{y}{x} x = - \sqrt{\ln (| x |) + C} x$

Этап 9.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{x} x = - \sqrt{\ln (| x |) + C} x$

Этап 9.3.1.2

Перепишем это выражение.

$y = - \sqrt{\ln (| x |) + C} x$

Этап 10

Перечислим решения.

$y = \sqrt{\ln (| x |) + C} x, y = - \sqrt{\ln (| x |) + C} x$