Математический анализ Примеры

$(6 x - 5) \frac{d x}{d y} = \frac{- 3 x^{2} + 5 x + 1}{y}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{- 3 x^{2} + 5 x + 1}$ .

$\frac{1}{- 3 x^{2} + 5 x + 1} ((6 x - 5) \frac{d x}{d y}) = \frac{1}{- 3 x^{2} + 5 x + 1} \cdot \frac{- 3 x^{2} + 5 x + 1}{y}$

Этап 1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Умножим $\frac{1}{- 3 x^{2} + 5 x + 1}$ на $\frac{- 3 x^{2} + 5 x + 1}{y}$ .

$\frac{1}{- 3 x^{2} + 5 x + 1} ((6 x - 5) \frac{d x}{d y}) = \frac{- 3 x^{2} + 5 x + 1}{(- 3 x^{2} + 5 x + 1) y}$

Этап 1.2.2

Сократим общий множитель $- 3 x^{2} + 5 x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{- 3 x^{2} + 5 x + 1} ((6 x - 5) \frac{d x}{d y}) = \frac{- 3 x^{2} + 5 x + 1}{(- 3 x^{2} + 5 x + 1) y}$

Этап 1.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{- 3 x^{2} + 5 x + 1} ((6 x - 5) \frac{d x}{d y}) = \frac{1}{y}$

Этап 1.3

Избавимся от ненужных скобок.

$\frac{1}{- 3 x^{2} + 5 x + 1} (6 x - 5) \frac{d x}{d y} = \frac{1}{y}$

Этап 1.4

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{- 3 x^{2} + 5 x + 1} (6 x - 5) d x = \frac{1}{y} d y$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{- 3 x^{2} + 5 x + 1} (6 x - 5) d x = \int \frac{1}{y} d y$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть $u = - 3 x^{2} + 5 x + 1$ . Тогда $d u = (- 6 x + 5) d x$ , следовательно $- d u = (6 x - 5) d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Пусть $u = - 3 x^{2} + 5 x + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Дифференцируем $- 3 x^{2} + 5 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2} + 5 x + 1]$

Этап 2.2.1.1.2

По правилу суммы производная $- 3 x^{2} + 5 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.2.1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.3.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x^{2}$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.2.1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.2.1.1.3.3

Умножим $2$ на $- 3$ .

$- 6 x + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.2.1.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.4.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 x + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.2.1.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 6 x + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.2.1.1.4.3

Умножим $5$ на $1$ .

$- 6 x + 5 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.2.1.1.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.5.1

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 6 x + 5 + 0$

Этап 2.2.1.1.5.2

Добавим $- 6 x + 5$ и $0$ .

$- 6 x + 5$

Этап 2.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u} d u = \int \frac{1}{y} d y$

Этап 2.2.2

Разделим дробь на несколько дробей.

$\int - \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{y} d y$

Этап 2.2.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{y} d y$

Этап 2.2.4

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{y} d y$

Этап 2.2.5

Упростим.

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y$

Этап 2.2.6

Заменим все вхождения $u$ на $- 3 x^{2} + 5 x + 1$ .

$- \ln (| - 3 x^{2} + 5 x + 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y$

Этап 2.3

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$- \ln (| - 3 x^{2} + 5 x + 1 |) + C_{1} = \ln (| y |) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$- \ln (| - 3 x^{2} + 5 x + 1 |) = \ln (| y |) + C$