Математический анализ Примеры

$\frac{3 y^{2} + 1}{y^{3} + y} \cdot \frac{d y}{d x} = 2 x$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$\frac{3 y^{2} + 1}{y^{3} + y} \cdot d y = 2 x d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{3 y^{2} + 1}{y^{3} + y} d y = \int 2 x d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть $u = y^{3} + y$ . Тогда $d u = (3 y^{2} + 1) d y$ , следовательно $\frac{1}{3 y^{2} + 1} d u = d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Пусть $u = y^{3} + y$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Дифференцируем $y^{3} + y$ .

$\frac{d}{d y} [y^{3} + y]$

Этап 2.2.1.1.2

По правилу суммы производная $y^{3} + y$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.2.1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 y^{2} + \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.2.1.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 y^{2} + 1$

Этап 2.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int 2 x d x$

Этап 2.2.2

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int 2 x d x$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y^{3} + y$ .

$\ln (| y^{3} + y |) + C_{1} = \int 2 x d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y^{3} + y |) + C_{1} = 2 \int x d x$

Этап 2.3.2

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| y^{3} + y |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Этап 2.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Перепишем $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ в виде $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

$\ln (| y^{3} + y |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y^{3} + y |) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\ln (| y^{3} + y |) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\ln (| y^{3} + y |) + C_{1} = 1 x^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.3

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$\ln (| y^{3} + y |) + C_{1} = x^{2} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| y^{3} + y |) = x^{2} + C$