Математический анализ Примеры

cari $\frac{d y}{d x}$ jika $4 x y - 3 y = 1$

Этап 1

Запишем задачу в виде математического выражения.

$\frac{d y}{d x} \cdot 4 x y - 3 y = 1$

Этап 2

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Решим относительно $\frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перенесем $4$ влево от $\frac{d y}{d x}$ .

$4 \frac{d y}{d x} x y - 3 y = 1$

Этап 2.1.2

Добавим $3 y$ к обеим частям уравнения.

$4 \frac{d y}{d x} x y = 1 + 3 y$

Этап 2.1.3

Разделим каждый член $4 \frac{d y}{d x} x y = 1 + 3 y$ на $4 x y$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Разделим каждый член $4 \frac{d y}{d x} x y = 1 + 3 y$ на $4 x y$ .

$\frac{4 \frac{d y}{d x} x y}{4 x y} = \frac{1}{4 x y} + \frac{3 y}{4 x y}$

Этап 2.1.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \frac{d y}{d x} x y}{4 x y} = \frac{1}{4 x y} + \frac{3 y}{4 x y}$

Этап 2.1.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{d y}{d x} x y}{x y} = \frac{1}{4 x y} + \frac{3 y}{4 x y}$

Этап 2.1.3.2.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{d y}{d x} x y}{x y} = \frac{1}{4 x y} + \frac{3 y}{4 x y}$

Этап 2.1.3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{d y}{d x} y}{y} = \frac{1}{4 x y} + \frac{3 y}{4 x y}$

Этап 2.1.3.2.3

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{d y}{d x} y}{y} = \frac{1}{4 x y} + \frac{3 y}{4 x y}$

Этап 2.1.3.2.3.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 x y} + \frac{3 y}{4 x y}$

Этап 2.1.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.3.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 x y} + \frac{3 y}{4 x y}$

Этап 2.1.3.3.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 x y} + \frac{3}{4 x}$

Этап 2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы записать $\frac{3}{4 x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 x y} + \frac{3}{4 x} \cdot \frac{y}{y}$

Этап 2.2.2

Умножим $\frac{3}{4 x}$ на $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 x y} + \frac{3 y}{4 x y}$

Этап 2.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + 3 y}{4 x y}$

Этап 2.3

Перегруппируем множители.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + 3 y}{4 y} \cdot \frac{1}{x}$

Этап 2.4

Умножим обе части на $\frac{4 y}{1 + 3 y}$ .

$\frac{4 y}{1 + 3 y} \frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{1 + 3 y} (\frac{1 + 3 y}{4 y} \cdot \frac{1}{x})$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Умножим $\frac{1 + 3 y}{4 y}$ на $\frac{1}{x}$ .

$\frac{4 y}{1 + 3 y} \frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{1 + 3 y} \cdot \frac{1 + 3 y}{4 y x}$

Этап 2.5.2

Сократим общий множитель $4 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Вынесем множитель $4 y$ из $4 y x$ .

$\frac{4 y}{1 + 3 y} \frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{1 + 3 y} \cdot \frac{1 + 3 y}{4 y (x)}$

Этап 2.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 y}{1 + 3 y} \frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{1 + 3 y} \cdot \frac{1 + 3 y}{4 y x}$

Этап 2.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{4 y}{1 + 3 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + 3 y} \cdot \frac{1 + 3 y}{x}$

Этап 2.5.3

Сократим общий множитель $1 + 3 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 y}{1 + 3 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + 3 y} \cdot \frac{1 + 3 y}{x}$

Этап 2.5.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{4 y}{1 + 3 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Этап 2.6

Перепишем уравнение.

$\frac{4 y}{1 + 3 y} d y = \frac{1}{x} d x$

Этап 3

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{4 y}{1 + 3 y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 3.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $4$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$4 \int \frac{y}{1 + 3 y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 3.2.2

Изменим порядок $1$ и $3 y$ .

$4 \int \frac{y}{3 y + 1} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 3.2.3

Разделим $y$ на $3 y + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$3 y$

$1$

$y$

$0$

Этап 3.2.3.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $y$ на член с максимальной степенью в делителе $3 y$ .

					$\frac{1}{3}$
	$3 y$	+	$1$		$y$	+	$0$

Этап 3.2.3.3

Умножим новое частное на делитель.

				$\frac{1}{3}$
$3 y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			+	$y$	+	$\frac{1}{3}$

Этап 3.2.3.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $y + \frac{1}{3}$ .

				$\frac{1}{3}$
$3 y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$\frac{1}{3}$

Этап 3.2.3.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$\frac{1}{3}$
$3 y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$\frac{1}{3}$
					-	$\frac{1}{3}$

Этап 3.2.3.6

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$4 \int \frac{1}{3} - \frac{1}{3 (3 y + 1)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 3.2.4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$4 (\int \frac{1}{3} d y + \int - \frac{1}{3 (3 y + 1)} d y) = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 3.2.5

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$4 (\frac{1}{3} y + C_{1} + \int - \frac{1}{3 (3 y + 1)} d y) = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 3.2.6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$4 (\frac{1}{3} y + C_{1} - \int \frac{1}{3 (3 y + 1)} d y) = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 3.2.7

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$4 (\frac{1}{3} y + C_{1} - (\frac{1}{3} \int \frac{1}{3 y + 1} d y)) = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 3.2.8

Объединим $\frac{1}{3}$ и $y$ .

$4 (\frac{y}{3} + C_{1} - \frac{1}{3} \int \frac{1}{3 y + 1} d y) = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 3.2.9

Пусть $u = 3 y + 1$ . Тогда $d u = 3 d y$ , следовательно $\frac{1}{3} d u = d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.9.1

Пусть $u = 3 y + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.9.1.1

Дифференцируем $3 y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [3 y + 1]$

Этап 3.2.9.1.2

По правилу суммы производная $3 y + 1$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 3.2.9.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [3 y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.9.1.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $y$ , производная $3 y$ по $y$ равна $3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$3 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 3.2.9.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 3.2.9.1.3.3

Умножим $3$ на $1$ .

$3 + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 3.2.9.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.9.1.4.1

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$3 + 0$

Этап 3.2.9.1.4.2

Добавим $3$ и $0$ .

$3$

Этап 3.2.9.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$4 (\frac{y}{3} + C_{1} - \frac{1}{3} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 3.2.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.10.1

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{3}$ .

$4 (\frac{y}{3} + C_{1} - \frac{1}{3} \int \frac{1}{u \cdot 3} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 3.2.10.2

Перенесем $3$ влево от $u$ .

$4 (\frac{y}{3} + C_{1} - \frac{1}{3} \int \frac{1}{3 u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 3.2.11

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$4 (\frac{y}{3} + C_{1} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u)) = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 3.2.12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.12.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{1}{3}$ .

$4 (\frac{y}{3} + C_{1} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 3.2.12.2

Умножим $3$ на $3$ .

$4 (\frac{y}{3} + C_{1} - \frac{1}{9} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 3.2.13

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$4 (\frac{y}{3} + C_{1} - \frac{1}{9} (\ln (| u |) + C_{2})) = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 3.2.14

Упростим.

$4 (\frac{1}{3} y - \frac{1}{9} \ln (| u |)) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 3.2.15

Заменим все вхождения $u$ на $3 y + 1$ .

$4 (\frac{1}{3} y - \frac{1}{9} \ln (| 3 y + 1 |)) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 3.3

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$4 (\frac{1}{3} y - \frac{1}{9} \ln (| 3 y + 1 |)) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4}$

Этап 3.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$4 (\frac{1}{3} y - \frac{1}{9} \ln (| 3 y + 1 |)) = \ln (| x |) + C$