Математический анализ Примеры

$\frac{- 2 y}{t^{3}} d t + \frac{1}{t^{2}} d y = 0$

Этап 1

Вычтем $\frac{- 2 y}{t^{3}} d t$ из обеих частей уравнения.

$\frac{1}{t^{2}} d y = - \frac{- 2 y}{t^{3}} d t$

Этап 2

Умножим обе части на $\frac{t^{2}}{y}$ .

$\frac{t^{2}}{y} \cdot \frac{1}{t^{2}} d y = \frac{t^{2}}{y} (- \frac{- 2 y}{t^{3}}) d t$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим.

$\frac{t^{2} \cdot 1}{y t^{2}} d y = \frac{t^{2}}{y} (- \frac{- 2 y}{t^{3}}) d t$

Этап 3.2

Сократим общий множитель $t^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{t^{2} \cdot 1}{y t^{2}} d y = \frac{t^{2}}{y} (- \frac{- 2 y}{t^{3}}) d t$

Этап 3.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y} d y = \frac{t^{2}}{y} (- \frac{- 2 y}{t^{3}}) d t$

Этап 3.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{t^{2}}{y} \cdot \frac{- 2 y}{t^{3}} d t$

Этап 3.4

Сократим общий множитель $t^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{t^{2}}{y}$ в числитель.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- t^{2}}{y} \cdot \frac{- 2 y}{t^{3}} d t$

Этап 3.4.2

Вынесем множитель $t^{2}$ из $- t^{2}$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{t^{2} \cdot - 1}{y} \cdot \frac{- 2 y}{t^{3}} d t$

Этап 3.4.3

Вынесем множитель $t^{2}$ из $t^{3}$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{t^{2} \cdot - 1}{y} \cdot \frac{- 2 y}{t^{2} t} d t$

Этап 3.4.4

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y} d y = \frac{t^{2} \cdot - 1}{y} \cdot \frac{- 2 y}{t^{2} t} d t$

Этап 3.4.5

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{- 2 y}{t} d t$

Этап 3.5

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Вынесем множитель $y$ из $- 2 y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{y \cdot - 2}{t} d t$

Этап 3.5.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{y \cdot - 2}{t} d t$

Этап 3.5.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{- 2}{t} d t$

Этап 3.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{y} d y = - - \frac{2}{t} d t$

Этап 3.7

Умножим $- - \frac{2}{t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{1}{y} d y = 1 \frac{2}{t} d t$

Этап 3.7.2

Умножим $\frac{2}{t}$ на $1$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{2}{t} d t$

Этап 4

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{2}{t} d t$

Этап 4.2

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{2}{t} d t$

Этап 4.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{t} d t$

Этап 4.3.2

Интеграл $\frac{1}{t}$ по $t$ имеет вид $\ln (| t |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (\ln (| t |) + C_{2})$

Этап 4.3.3

Упростим.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \ln (| t |) + C_{2}$

Этап 4.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| y |) = 2 \ln (| t |) + C$

Этап 5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| y |) - 2 \ln (| t |) = C$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим $\ln (| y |) - 2 \ln (| t |)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Упростим $- 2 \ln (| t |)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\ln (| y |) - \ln ({| t |}^{2}) = C$

Этап 5.2.1.1.2

Уберем знак модуля в ${| t |}^{2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$\ln (| y |) - \ln (t^{2}) = C$

Этап 5.2.1.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{t^{2}}) = C$

Этап 5.3

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (\frac{| y |}{t^{2}})} = e^{C}$

Этап 5.4

Перепишем $\ln (\frac{| y |}{t^{2}}) = C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y |}{t^{2}}$

Этап 5.5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{| y |}{t^{2}} = e^{C}$ .

$\frac{| y |}{t^{2}} = e^{C}$

Этап 5.5.2

Умножим обе части на $t^{2}$ .

$\frac{| y |}{t^{2}} t^{2} = e^{C} t^{2}$

Этап 5.5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1.1

Сократим общий множитель $t^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{| y |}{t^{2}} t^{2} = e^{C} t^{2}$

Этап 5.5.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$| y | = e^{C} t^{2}$

Этап 5.5.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.2.1

Изменим порядок множителей в $e^{C} t^{2}$ .

$| y | = t^{2} e^{C}$

Этап 5.5.4

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$y = \pm t^{2} e^{C}$

Этап 6

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \pm t^{2} C$

Этап 6.2

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = C t^{2}$