Математический анализ Примеры

$\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + y} \cdot \frac{d y}{d x} = - x$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Решим относительно $\frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Объединим $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + y}$ и $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\sqrt{1 + x^{2}} \frac{d y}{d x}}{1 + y} = - x$

Этап 1.1.2

Умножим обе части на $1 + y$ .

$\frac{\sqrt{1 + x^{2}} \frac{d y}{d x}}{1 + y} (1 + y) = - x (1 + y)$

Этап 1.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Сократим общий множитель $1 + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{1 + x^{2}} \frac{d y}{d x}}{1 + y} (1 + y) = - x (1 + y)$

Этап 1.1.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{1 + x^{2}} \frac{d y}{d x} = - x (1 + y)$

Этап 1.1.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1

Упростим $- x (1 + y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\sqrt{1 + x^{2}} \frac{d y}{d x} = - x \cdot 1 - x y$

Этап 1.1.3.2.1.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1.2.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\sqrt{1 + x^{2}} \frac{d y}{d x} = - x - x y$

Этап 1.1.3.2.1.2.2

Изменим порядок $- x$ и $- x y$ .

$\sqrt{1 + x^{2}} \frac{d y}{d x} = - x y - x$

Этап 1.1.4

Разделим каждый член $\sqrt{1 + x^{2}} \frac{d y}{d x} = - x y - x$ на $\sqrt{1 + x^{2}}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Разделим каждый член $\sqrt{1 + x^{2}} \frac{d y}{d x} = - x y - x$ на $\sqrt{1 + x^{2}}$ .

$\frac{\sqrt{1 + x^{2}} \frac{d y}{d x}}{\sqrt{1 + x^{2}}} = \frac{- x y}{\sqrt{1 + x^{2}}} + \frac{- x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Этап 1.1.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.1

Сократим общий множитель $\sqrt{1 + x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{1 + x^{2}} \frac{d y}{d x}}{\sqrt{1 + x^{2}}} = \frac{- x y}{\sqrt{1 + x^{2}}} + \frac{- x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Этап 1.1.4.2.1.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x y}{\sqrt{1 + x^{2}}} + \frac{- x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Этап 1.1.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.3.1

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.3.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.3.1.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y}{\sqrt{1 + x^{2}}} + \frac{- x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Этап 1.1.4.3.1.1.2

Умножим $\frac{x y}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ на $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{x y}{\sqrt{1 + x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}) + \frac{- x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Этап 1.1.4.3.1.1.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.3.1.1.3.1

Умножим $\frac{x y}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ на $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}} + \frac{- x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Этап 1.1.4.3.1.1.3.2

Возведем $\sqrt{1 + x^{2}}$ в степень $1$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} \sqrt{1 + x^{2}}} + \frac{- x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Этап 1.1.4.3.1.1.3.3

Возведем $\sqrt{1 + x^{2}}$ в степень $1$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + x^{2}}}^{1}} + \frac{- x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Этап 1.1.4.3.1.1.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1 + 1}} + \frac{- x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Этап 1.1.4.3.1.1.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}} + \frac{- x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Этап 1.1.4.3.1.1.3.6

Перепишем ${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ в виде $1 + x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.3.1.1.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{1 + x^{2}}$ в виде ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{- x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Этап 1.1.4.3.1.1.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{- x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Этап 1.1.4.3.1.1.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}} + \frac{- x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Этап 1.1.4.3.1.1.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.3.1.1.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}} + \frac{- x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Этап 1.1.4.3.1.1.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{1}} + \frac{- x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Этап 1.1.4.3.1.1.3.6.5

Упростим.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} + \frac{- x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Этап 1.1.4.3.1.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Этап 1.1.4.3.1.1.5

Умножим $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ на $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - (\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}})$

Этап 1.1.4.3.1.1.6

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.3.1.1.6.1

Умножим $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ на $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}$

Этап 1.1.4.3.1.1.6.2

Возведем $\sqrt{1 + x^{2}}$ в степень $1$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} \sqrt{1 + x^{2}}}$

Этап 1.1.4.3.1.1.6.3

Возведем $\sqrt{1 + x^{2}}$ в степень $1$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + x^{2}}}^{1}}$

Этап 1.1.4.3.1.1.6.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1 + 1}}$

Этап 1.1.4.3.1.1.6.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}}$

Этап 1.1.4.3.1.1.6.6

Перепишем ${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ в виде $1 + x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.3.1.1.6.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{1 + x^{2}}$ в виде ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.1.4.3.1.1.6.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 1.1.4.3.1.1.6.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 1.1.4.3.1.1.6.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.3.1.1.6.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 1.1.4.3.1.1.6.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{1}}$

Этап 1.1.4.3.1.1.6.6.5

Упростим.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$

Этап 1.1.4.3.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x y \sqrt{1 + x^{2}} - x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$

Этап 1.1.4.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.3.2.1

Вынесем множитель $x \sqrt{1 + x^{2}}$ из $- x y \sqrt{1 + x^{2}} - x \sqrt{1 + x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.3.2.1.1

Вынесем множитель $x \sqrt{1 + x^{2}}$ из $- x y \sqrt{1 + x^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}} (- 1 y) - x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$

Этап 1.1.4.3.2.1.2

Вынесем множитель $x \sqrt{1 + x^{2}}$ из $- x \sqrt{1 + x^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}} (- 1 y) + x \sqrt{1 + x^{2}} (- 1)}{1 + x^{2}}$

Этап 1.1.4.3.2.1.3

Вынесем множитель $x \sqrt{1 + x^{2}}$ из $x \sqrt{1 + x^{2}} (- 1 y) + x \sqrt{1 + x^{2}} (- 1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}} (- 1 y - 1)}{1 + x^{2}}$

Этап 1.1.4.3.2.2

Перепишем $- 1 y$ в виде $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}} (- y - 1)}{1 + x^{2}}$

Этап 1.1.4.3.3

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.3.3.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}} (- (y) - 1)}{1 + x^{2}}$

Этап 1.1.4.3.3.2

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}} (- (y) - 1 (1))}{1 + x^{2}}$

Этап 1.1.4.3.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (y) - 1 (1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}} (- (y + 1))}{1 + x^{2}}$

Этап 1.1.4.3.3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.3.3.4.1

Перепишем $- (y + 1)$ в виде $- 1 (y + 1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}} (- 1 (y + 1))}{1 + x^{2}}$

Этап 1.1.4.3.3.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{(x \sqrt{1 + x^{2}}) (y + 1)}{1 + x^{2}}$

Этап 1.2

Перегруппируем множители.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} (y + 1)$

Этап 1.3

Умножим обе части на $\frac{1}{y + 1}$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} (- \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} (y + 1))$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y + 1} (\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} (y + 1))$

Этап 1.4.2

Сократим общий множитель $y + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{y + 1}$ в числитель.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y + 1} (\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} (y + 1))$

Этап 1.4.2.2

Вынесем множитель $y + 1$ из $\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} (y + 1)$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y + 1} ((y + 1) \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})$

Этап 1.4.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y + 1} ((y + 1) \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})$

Этап 1.4.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$

Этап 1.5

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y + 1} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y + 1} d y = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть $u_{1} = y + 1$ . Тогда $d u_{1} = d y$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Пусть $u_{1} = y + 1$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Дифференцируем $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Этап 2.2.1.1.2

По правилу суммы производная $y + 1$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 2.2.1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 2.2.1.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 2.2.1.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 2.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Этап 2.2.2

Интеграл $\frac{1}{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $y + 1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \int \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Этап 2.3.2

Пусть $u_{2} = 1 + x^{2}$ . Тогда $d u_{2} = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Пусть $u_{2} = 1 + x^{2}$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Дифференцируем $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Этап 2.3.2.1.2

По правилу суммы производная $1 + x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.3.2.1.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.3.2.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Этап 2.3.2.1.5

Добавим $0$ и $2 x$ .

$2 x$

Этап 2.3.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 2.3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Умножим $\frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Этап 2.3.3.2

Перенесем $2$ влево от $u_{2}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{2 u_{2}} d u_{2}$

Этап 2.3.4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2}} d u_{2})$

Этап 2.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u_{2}}$ в виде ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 2.3.5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.1

Перенесем ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}}} d u_{2}$

Этап 2.3.5.2.2

Умножим $u_{2}$ на ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.2.1

Умножим $u_{2}$ на ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.2.1.1

Возведем $u_{2}$ в степень $1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{1} {u_{2}}^{- \frac{1}{2}}} d u_{2}$

Этап 2.3.5.2.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{1 - \frac{1}{2}}} d u_{2}$

Этап 2.3.5.2.2.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d u_{2}$

Этап 2.3.5.2.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{2 - 1}{2}}} d u_{2}$

Этап 2.3.5.2.2.4

Вычтем $1$ из $2$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} d u_{2}$

Этап 2.3.5.3

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.3.1

Вынесем ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int {({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{2}$

Этап 2.3.5.3.2

Перемножим экспоненты в ${({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.3.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{2}$

Этап 2.3.5.3.2.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{2}$

Этап 2.3.5.3.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Этап 2.3.6

По правилу степени интеграл ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \frac{1}{2} (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Этап 2.3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Перепишем $- \frac{1}{2} (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ в виде $- \frac{1}{2} \cdot 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \cdot 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.2.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2}) {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.7.2.2

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{- 2}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.7.2.3

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.7.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.7.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.7.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{- 1}{1} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.7.2.3.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.8

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $1 + x^{2}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| y + 1 |) = - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| y + 1 |)} = e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$

Этап 3.2

Перепишем $\ln (| y + 1 |) = - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C} = | y + 1 |$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $| y + 1 | = e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$ .

$| y + 1 | = e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$

Этап 3.3.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$y + 1 = \pm e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$

Этап 3.3.3

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$y = \pm e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C} - 1$

Этап 4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$ в виде $e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} e^{C} - 1$

Этап 4.2

Изменим порядок $e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ и $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 1$

Этап 4.3

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = C e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 1$