Математический анализ Примеры

${(y \ln (x))}^{- 1} \frac{d y}{d x} = {(\frac{x}{y + 1})}^{2}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член ${(y \ln (x))}^{- 1} \frac{d y}{d x} = {(\frac{x}{y + 1})}^{2}$ на ${(y \ln (x))}^{- 1}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Разделим каждый член ${(y \ln (x))}^{- 1} \frac{d y}{d x} = {(\frac{x}{y + 1})}^{2}$ на ${(y \ln (x))}^{- 1}$ .

$\frac{{(y \ln (x))}^{- 1} \frac{d y}{d x}}{{(y \ln (x))}^{- 1}} = \frac{{(\frac{x}{y + 1})}^{2}}{{(y \ln (x))}^{- 1}}$

Этап 1.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Сократим общий множитель ${(y \ln (x))}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{{(y \ln (x))}^{- 1} \frac{d y}{d x}}{{(y \ln (x))}^{- 1}} = \frac{{(\frac{x}{y + 1})}^{2}}{{(y \ln (x))}^{- 1}}$

Этап 1.1.2.1.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{{(\frac{x}{y + 1})}^{2}}{{(y \ln (x))}^{- 1}}$

Этап 1.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Перенесем ${(y \ln (x))}^{- 1}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$\frac{d y}{d x} = {(\frac{x}{y + 1})}^{2} (y \ln (x))$

Этап 1.1.3.2

Применим правило умножения к $\frac{x}{y + 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{{(y + 1)}^{2}} (y \ln (x))$

Этап 1.1.3.3

Умножим $\frac{x^{2}}{{(y + 1)}^{2}} (y \ln (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Объединим $y$ и $\frac{x^{2}}{{(y + 1)}^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y x^{2}}{{(y + 1)}^{2}} \ln (x)$

Этап 1.1.3.3.2

Объединим $\frac{y x^{2}}{{(y + 1)}^{2}}$ и $\ln (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y x^{2} \ln (x)}{{(y + 1)}^{2}}$

Этап 1.2

Перегруппируем множители.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{{(y + 1)}^{2}} x^{2} \ln (x)$

Этап 1.3

Умножим обе части на $\frac{{(y + 1)}^{2}}{y}$ .

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{{(y + 1)}^{2}}{y} (\frac{y}{{(y + 1)}^{2}} x^{2} \ln (x))$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Объединим $\frac{y}{{(y + 1)}^{2}}$ и $x^{2}$ .

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{{(y + 1)}^{2}}{y} (\frac{y x^{2}}{{(y + 1)}^{2}} \ln (x))$

Этап 1.4.2

Объединим $\frac{y x^{2}}{{(y + 1)}^{2}}$ и $\ln (x)$ .

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{{(y + 1)}^{2}}{y} \cdot \frac{y x^{2} \ln (x)}{{(y + 1)}^{2}}$

Этап 1.4.3

Объединим.

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{{(y + 1)}^{2} (y x^{2} \ln (x))}{y {(y + 1)}^{2}}$

Этап 1.4.4

Сократим общий множитель ${(y + 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{{(y + 1)}^{2} (y x^{2} \ln (x))}{y {(y + 1)}^{2}}$

Этап 1.4.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y x^{2} \ln (x)}{y}$

Этап 1.4.5

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y x^{2} \ln (x)}{y}$

Этап 1.4.5.2

Разделим $x^{2} \ln (x)$ на $1$ .

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = x^{2} \ln (x)$

Этап 1.5

Перепишем уравнение.

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{y} d y = x^{2} \ln (x) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{{(y + 1)}^{2}}{y} d y = \int x^{2} \ln (x) d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем ${(y + 1)}^{2}$ в виде $(y + 1) (y + 1)$ .

$\int \frac{(y + 1) (y + 1)}{y} d y = \int x^{2} \ln (x) d x$

Этап 2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int \frac{y (y + 1) + 1 (y + 1)}{y} d y = \int x^{2} \ln (x) d x$

Этап 2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\int \frac{y \cdot y + y \cdot 1 + 1 (y + 1)}{y} d y = \int x^{2} \ln (x) d x$

Этап 2.2.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\int \frac{y \cdot y + y \cdot 1 + 1 y + 1 \cdot 1}{y} d y = \int x^{2} \ln (x) d x$

Этап 2.2.5

Изменим порядок $y$ и $1$ .

$\int \frac{y \cdot y + 1 \cdot y + 1 y + 1 \cdot 1}{y} d y = \int x^{2} \ln (x) d x$

Этап 2.2.6

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\int \frac{y^{1} y + 1 y + 1 y + 1 \cdot 1}{y} d y = \int x^{2} \ln (x) d x$

Этап 2.2.7

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\int \frac{y^{1} y^{1} + 1 y + 1 y + 1 \cdot 1}{y} d y = \int x^{2} \ln (x) d x$

Этап 2.2.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int \frac{y^{1 + 1} + 1 y + 1 y + 1 \cdot 1}{y} d y = \int x^{2} \ln (x) d x$

Этап 2.2.9

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.9.1

Добавим $1$ и $1$ .

$\int \frac{y^{2} + 1 y + 1 y + 1 \cdot 1}{y} d y = \int x^{2} \ln (x) d x$

Этап 2.2.9.2

Умножим $y$ на $1$ .

$\int \frac{y^{2} + y + 1 y + 1 \cdot 1}{y} d y = \int x^{2} \ln (x) d x$

Этап 2.2.9.3

Умножим $y$ на $1$ .

$\int \frac{y^{2} + y + y + 1 \cdot 1}{y} d y = \int x^{2} \ln (x) d x$

Этап 2.2.9.4

Умножим $1$ на $1$ .

$\int \frac{y^{2} + y + y + 1}{y} d y = \int x^{2} \ln (x) d x$

Этап 2.2.10

Добавим $y$ и $y$ .

$\int \frac{y^{2} + 2 y + 1}{y} d y = \int x^{2} \ln (x) d x$

Этап 2.2.11

Разделим $y^{2} + 2 y + 1$ на $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.11.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$y$

$0$

$y^{2}$

$2 y$

$1$

Этап 2.2.11.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $y^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $y$ .

					$y$
	$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$2 y$	+	$1$

Этап 2.2.11.3

Умножим новое частное на делитель.

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$2 y$	+	$1$
			+	$y^{2}$	+	$0$

Этап 2.2.11.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $y^{2} + 0$ .

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$

Этап 2.2.11.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					+	$2 y$

Этап 2.2.11.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					+	$2 y$	+	$1$

Этап 2.2.11.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $2 y$ на член с максимальной степенью в делителе $y$ .

				$y$	+	$2$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					+	$2 y$	+	$1$

Этап 2.2.11.8

Умножим новое частное на делитель.

				$y$	+	$2$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					+	$2 y$	+	$1$
					+	$2 y$	+	$0$

Этап 2.2.11.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $2 y + 0$ .

				$y$	+	$2$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					+	$2 y$	+	$1$
					-	$2 y$	-	$0$

Этап 2.2.11.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$y$	+	$2$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					+	$2 y$	+	$1$
					-	$2 y$	-	$0$
							+	$1$

Этап 2.2.11.11

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$\int y + 2 + \frac{1}{y} d y = \int x^{2} \ln (x) d x$

Этап 2.2.12

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int y d y + \int 2 d y + \int \frac{1}{y} d y = \int x^{2} \ln (x) d x$

Этап 2.2.13

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int 2 d y + \int \frac{1}{y} d y = \int x^{2} \ln (x) d x$

Этап 2.2.14

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + 2 y + C_{2} + \int \frac{1}{y} d y = \int x^{2} \ln (x) d x$

Этап 2.2.15

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + 2 y + C_{2} + \ln (| y |) + C_{3} = \int x^{2} \ln (x) d x$

Этап 2.2.16

Упростим.

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \int x^{2} \ln (x) d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \ln (x)$ и $d v = x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \ln (x) (\frac{1}{3} x^{3}) - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

Этап 2.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \ln (x) \frac{x^{3}}{3} - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

Этап 2.3.2.2

Объединим $\ln (x)$ и $\frac{x^{3}}{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

Этап 2.3.3

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int x^{3} \frac{1}{x} d x)$

Этап 2.3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Объединим $x^{3}$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x^{3}}{x} d x)$

Этап 2.3.4.2

Сократим общий множитель $x^{3}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x \cdot x^{2}}{x} d x)$

Этап 2.3.4.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} d x)$

Этап 2.3.4.2.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} d x)$

Этап 2.3.4.2.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} d x)$

Этап 2.3.4.2.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x^{2}}{1} d x)$

Этап 2.3.4.2.2.5

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int x^{2} d x)$

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \int x^{2} d x$

Этап 2.3.5

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{5})$

Этап 2.3.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Перепишем $\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{5})$ в виде $\frac{1}{3} \ln (x) x^{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C_{5}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{1}{3} \ln (x) x^{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C_{5}$

Этап 2.3.6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.2.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $\ln (x)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{\ln (x)}{3} x^{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C_{5}$

Этап 2.3.6.2.2

Объединим $\frac{\ln (x)}{3}$ и $x^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C_{5}$

Этап 2.3.6.2.3

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} x^{3} + C_{5}$

Этап 2.3.6.2.4

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{9} x^{3} + C_{5}$

Этап 2.3.6.3

Объединим $x^{3}$ и $\frac{1}{9}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9} + C_{5}$

Этап 2.3.6.4

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{1}{3} \ln (x) x^{3} - \frac{1}{9} x^{3} + C_{5}$

Этап 2.3.7

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{5}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) = \frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C$