Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = \sqrt{y}$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде, подходящем для применения метода Бернулли.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{y}$ в виде $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = y^{\frac{1}{2}}$

Этап 1.2

Вынесем множитель $y$ из $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x} = y^{\frac{1}{2}}$

Этап 1.3

Изменим порядок $y$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = y^{\frac{1}{2}}$

Этап 2

Чтобы решить дифференциальное уравнение, пусть $v = y^{1 - n}$ , где $n$ — показатель степени $y^{\frac{1}{2}}$ .

$v = y^{\frac{1}{2}}$

Этап 3

Решим уравнение относительно $y$ .

$y = v^{2}$

Этап 4

Возьмем производную $y$ по $x$ .

$y' = v^{2}$

Этап 5

Возьмем производную $v^{2}$ по $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Возьмем производную от $v^{2}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{2}]$

Этап 5.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $v$ .

$y' = \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [v]$

Этап 5.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$y' = 2 u \frac{d}{d x} [v]$

Этап 5.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $v$ .

$y' = 2 v \frac{d}{d x} [v]$

Этап 5.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [v]$ в виде $v'$ .

$y' = 2 v v'$

Этап 6

Подставим $2 v v'$ вместо $\frac{d y}{d x}$ и $v^{2}$ вместо $y$ в исходное уравнение $\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 v v' + \frac{1}{x} v^{2} = {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Этап 7

Решим подставленное дифференциальное уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Разделим каждый член $2 v \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v^{2} = {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ на $2 v$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.1

Разделим каждый член $2 v \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v^{2} = {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ на $2 v$ .

$\frac{2 v \frac{d v}{d x}}{2 v} + \frac{\frac{1}{x} v^{2}}{2 v} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Этап 7.1.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 v \frac{d v}{d x}}{2 v} + \frac{\frac{1}{x} v^{2}}{2 v} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Этап 7.1.1.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{v \frac{d v}{d x}}{v} + \frac{\frac{1}{x} v^{2}}{2 v} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Этап 7.1.1.2.1.2

Сократим общий множитель $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{v \frac{d v}{d x}}{v} + \frac{\frac{1}{x} v^{2}}{2 v} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Этап 7.1.1.2.1.2.2

Разделим $\frac{d v}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{\frac{1}{x} v^{2}}{2 v} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Этап 7.1.1.2.1.3

Сократим общий множитель $v^{2}$ и $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.2.1.3.1

Вынесем множитель $v$ из $\frac{1}{x} v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v (\frac{1}{x} v)}{2 v} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Этап 7.1.1.2.1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.2.1.3.2.1

Вынесем множитель $v$ из $2 v$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v (\frac{1}{x} v)}{v \cdot 2} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Этап 7.1.1.2.1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v (\frac{1}{x} v)}{v \cdot 2} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Этап 7.1.1.2.1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d v}{d x} + \frac{\frac{1}{x} v}{2} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Этап 7.1.1.2.1.4

Объединим $\frac{1}{x}$ и $v$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{\frac{v}{x}}{2} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Этап 7.1.1.2.1.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} \cdot \frac{1}{2} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Этап 7.1.1.2.1.6

Умножим $\frac{v}{x}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x \cdot 2} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Этап 7.1.1.2.1.7

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Этап 7.1.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.3.1.1

Перемножим экспоненты в ${(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.3.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x} = \frac{v^{2 (\frac{1}{2})}}{2 v}$

Этап 7.1.1.3.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.3.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x} = \frac{v^{2 (\frac{1}{2})}}{2 v}$

Этап 7.1.1.3.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x} = \frac{v^{1}}{2 v}$

Этап 7.1.1.3.1.2

Упростим.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x} = \frac{v}{2 v}$

Этап 7.1.1.3.2

Сократим общий множитель $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x} = \frac{v}{2 v}$

Этап 7.1.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x} = \frac{1}{2}$

Этап 7.1.2

Вынесем множитель $v$ из $\frac{v}{2 x}$ .

$\frac{d v}{d x} + v \frac{1}{2 x} = \frac{1}{2}$

Этап 7.1.3

Изменим порядок $v$ и $\frac{1}{2 x}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{2 x} v = \frac{1}{2}$

Этап 7.2

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = \frac{1}{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int \frac{1}{2 x} d x}$

Этап 7.2.2

Проинтегрируем $\frac{1}{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$e^{\frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x}$

Этап 7.2.2.2

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$e^{\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C)}$

Этап 7.2.2.3

Упростим.

$e^{\frac{1}{2} \ln (| x |) + C}$

Этап 7.2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{\frac{1}{2} \ln (x)}$

Этап 7.2.4

Применим правило степени для логарифма.

$e^{\ln (x^{\frac{1}{2}})}$

Этап 7.2.5

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$x^{\frac{1}{2}}$

Этап 7.3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $x^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Умножим каждый член на $x^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2 x} v) = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

Этап 7.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Объединим $\frac{1}{2 x}$ и $v$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + x^{\frac{1}{2}} \frac{v}{2 x} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

Этап 7.3.2.2

Объединим $x^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{v}{2 x}$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{x^{\frac{1}{2}} v}{2 x} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

Этап 7.3.2.3

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

Этап 7.3.2.4

Умножим $x$ на $x^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.4.1

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 (x^{- \frac{1}{2}} x)} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

Этап 7.3.2.4.2

Умножим $x^{- \frac{1}{2}}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.4.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 (x^{- \frac{1}{2}} x^{1})} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

Этап 7.3.2.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x^{- \frac{1}{2} + 1}} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

Этап 7.3.2.4.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

Этап 7.3.2.4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x^{\frac{- 1 + 2}{2}}} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

Этап 7.3.2.4.5

Добавим $- 1$ и $2$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x^{\frac{1}{2}}} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

Этап 7.3.3

Объединим $x^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{1}{2}$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Этап 7.4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} v] = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Этап 7.5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} v] d x = \int \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} d x$

Этап 7.6

Проинтегрируем левую часть.

$x^{\frac{1}{2}} v = \int \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} d x$

Этап 7.7

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.1

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{1}{2} \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Этап 7.7.2

По правилу степени интеграл $x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{1}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

Этап 7.7.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.3.1

Перепишем $\frac{1}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$ в виде $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$ .

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 7.7.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.3.2.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{2}{3}$ .

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{2}{2 \cdot 3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 7.7.3.2.2

Умножим $2$ на $3$ .

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{2}{6} x^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 7.7.3.2.3

Сократим общий множитель $2$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.3.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{2 (1)}{6} x^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 7.7.3.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.3.2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 7.7.3.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 7.7.3.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{1}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 7.8

Разделим каждый член $x^{\frac{1}{2}} v = \frac{1}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$ на $x^{\frac{1}{2}}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.1

Разделим каждый член $x^{\frac{1}{2}} v = \frac{1}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$ на $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} v}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{\frac{1}{3} x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 7.8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} v}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{\frac{1}{3} x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 7.8.2.2

Разделим $v$ на $1$ .

$v = \frac{\frac{1}{3} x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 7.8.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.3.1.1

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$v = \frac{1}{3} x^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 7.8.3.1.2

Умножим $x^{\frac{3}{2}}$ на $x^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.3.1.2.1

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$v = \frac{1}{3} (x^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}) + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 7.8.3.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$v = \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{2} + \frac{3}{2}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 7.8.3.1.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$v = \frac{1}{3} x^{\frac{- 1 + 3}{2}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 7.8.3.1.2.4

Добавим $- 1$ и $3$ .

$v = \frac{1}{3} x^{\frac{2}{2}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 7.8.3.1.2.5

Разделим $2$ на $2$ .

$v = \frac{1}{3} x^{1} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 7.8.3.1.3

Упростим $\frac{1}{3} x^{1}$ .

$v = \frac{1}{3} x + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 7.8.3.1.4

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x$ .

$v = \frac{x}{3} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 8

Подставим $y^{\frac{1}{2}}$ вместо $v$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{x}{3} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$