Математический анализ Примеры

$y d x + x^{3} d y = 0$

Этап 1

Вычтем $y d x$ из обеих частей уравнения.

$x^{3} d y = - y d x$

Этап 2

Умножим обе части на $\frac{1}{x^{3} y}$ .

$\frac{1}{x^{3} y} x^{3} d y = \frac{1}{x^{3} y} (- y) d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{3} y$ .

$\frac{1}{x^{3} (y)} x^{3} d y = \frac{1}{x^{3} y} (- y) d x$

Этап 3.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{x^{3} y} x^{3} d y = \frac{1}{x^{3} y} (- y) d x$

Этап 3.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{x^{3} y} (- y) d x$

Этап 3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{x^{3} y} y d x$

Этап 3.3

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{x^{3} y}$ в числитель.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{x^{3} y} y d x$

Этап 3.3.2

Вынесем множитель $y$ из $x^{3} y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y x^{3}} y d x$

Этап 3.3.3

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y x^{3}} y d x$

Этап 3.3.4

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{x^{3}} d x$

Этап 3.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{x^{3}} d x$

Этап 4

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{1}{x^{3}} d x$

Этап 4.2

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x^{3}} d x$

Этап 4.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Этап 4.3.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Вынесем $x^{3}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

Этап 4.3.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int x^{3 \cdot - 1} d x$

Этап 4.3.2.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int x^{- 3} d x$

Этап 4.3.3

По правилу степени интеграл $x^{- 3}$ по $x$ имеет вид $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C_{2})$

Этап 4.3.4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1.1

Объединим $x^{- 2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{x^{- 2}}{2} + C_{2})$

Этап 4.3.4.1.2

Перенесем $x^{- 2}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2})$

Этап 4.3.4.2

Упростим.

$\ln (| y |) + C_{1} = - - \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}$

Этап 4.3.4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 1 \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}$

Этап 4.3.4.3.2

Умножим $\frac{1}{2 x^{2}}$ на $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}$

Этап 4.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Этап 5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| y |)} = e^{\frac{1}{2 x^{2}} + C}$

Этап 5.2

Перепишем $\ln (| y |) = \frac{1}{2 x^{2}} + C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{2 x^{2}} + C} = | y |$

Этап 5.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Перепишем уравнение в виде $| y | = e^{\frac{1}{2 x^{2}} + C}$ .

$| y | = e^{\frac{1}{2 x^{2}} + C}$

Этап 5.3.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{\frac{1}{2 x^{2}} + C}$

Этап 6

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем $e^{\frac{1}{2 x^{2}} + C}$ в виде $e^{\frac{1}{2 x^{2}}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{\frac{1}{2 x^{2}}} e^{C}$

Этап 6.2

Изменим порядок $e^{\frac{1}{2 x^{2}}}$ и $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{\frac{1}{2 x^{2}}}$

Этап 6.3

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = C e^{\frac{1}{2 x^{2}}}$