Математический анализ Примеры

$\frac{d x}{d y} + 1 = e^{x + y}$

Этап 1

Пусть $v = e^{x + y}$ . Подставим $v$ вместо $e^{x + y}$ для всех.

$\frac{d x}{d y} + 1 = v$

Этап 2

Найдем $\frac{d v}{d y}$ , дифференцируя $e^{x + y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ имеет вид $f' (g (y)) g' (y)$ , где $f (y) = e^{y}$ и $g (y) = x + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + y$ .

$\frac{d v}{d y} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x + y]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{d v}{d y} = e^{u} \frac{d}{d y} [x + y]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + y$ .

$\frac{d v}{d y} = e^{x + y} \frac{d}{d y} [x + y]$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $x + y$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d v}{d y} = e^{x + y} (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y])$

Этап 2.3

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$\frac{d v}{d y} = e^{x + y} (x' + \frac{d}{d y} [y])$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{d v}{d y} = e^{x + y} (x' + 1)$

Этап 3

Подставим $v$ вместо $e^{x + y}$ .

$\frac{d v}{d y} = v (x' + 1)$

Этап 4

Подставим производную обратно в дифференциальное уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Добавим $- 1$ и $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d y}}{v} + 0 = v$

Этап 4.2

Добавим $\frac{\frac{d v}{d y}}{v}$ и $0$ .

$\frac{\frac{d v}{d y}}{v} = v$

Этап 5

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Решим относительно $\frac{d v}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Умножим обе части на $v$ .

$\frac{\frac{d v}{d y}}{v} v = v \cdot v$

Этап 5.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1.1

Сократим общий множитель $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{d v}{d y}}{v} v = v \cdot v$

Этап 5.1.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{d v}{d y} = v \cdot v$

Этап 5.1.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.2.1

Умножим $v$ на $v$ .

$\frac{d v}{d y} = v^{2}$

Этап 5.2

Умножим обе части на $\frac{1}{v^{2}}$ .

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d y} = \frac{1}{v^{2}} v^{2}$

Этап 5.3

Сократим общий множитель $v^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d y} = \frac{1}{v^{2}} v^{2}$

Этап 5.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d y} = 1$

Этап 5.4

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{v^{2}} d v = 1 d y$

Этап 6

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{v^{2}} d v = \int d y$

Этап 6.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Вынесем $v^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int {(v^{2})}^{- 1} d v = \int d y$

Этап 6.2.1.2

Перемножим экспоненты в ${(v^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int v^{2 \cdot - 1} d v = \int d y$

Этап 6.2.1.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int v^{- 2} d v = \int d y$

Этап 6.2.2

По правилу степени интеграл $v^{- 2}$ по $v$ имеет вид $- v^{- 1}$ .

$- v^{- 1} + C_{1} = \int d y$

Этап 6.2.3

Перепишем $- v^{- 1} + C_{1}$ в виде $- \frac{1}{v} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{v} + C_{1} = \int d y$

Этап 6.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- \frac{1}{v} + C_{1} = y + C_{2}$

Этап 6.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$- \frac{1}{v} = y + K$

Этап 7

Решим относительно $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$v, 1, 1$

Этап 7.1.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$v$

Этап 7.2

Каждый член в $- \frac{1}{v} = y + K$ умножим на $v$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим каждый член $- \frac{1}{v} = y + K$ на $v$ .

$- \frac{1}{v} v = y v + K v$

Этап 7.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Сократим общий множитель $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{v}$ в числитель.

$\frac{- 1}{v} v = y v + K v$

Этап 7.2.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{v} v = y v + K v$

Этап 7.2.2.1.3

Перепишем это выражение.

$- 1 = y v + K v$

Этап 7.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Перепишем уравнение в виде $y v + K v = - 1$ .

$y v + K v = - 1$

Этап 7.3.2

Вынесем множитель $v$ из $y v + K v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Вынесем множитель $v$ из $y v$ .

$v y + K v = - 1$

Этап 7.3.2.2

Вынесем множитель $v$ из $K v$ .

$v y + v K = - 1$

Этап 7.3.2.3

Вынесем множитель $v$ из $v y + v K$ .

$v (y + K) = - 1$

Этап 7.3.3

Разделим каждый член $v (y + K) = - 1$ на $y + K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.1

Разделим каждый член $v (y + K) = - 1$ на $y + K$ .

$\frac{v (y + K)}{y + K} = \frac{- 1}{y + K}$

Этап 7.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.2.1

Сократим общий множитель $y + K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{v (y + K)}{y + K} = \frac{- 1}{y + K}$

Этап 7.3.3.2.1.2

Разделим $v$ на $1$ .

$v = \frac{- 1}{y + K}$

Этап 7.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$v = - \frac{1}{y + K}$

Этап 8

Заменим все вхождения $v$ на $e^{x + y}$ .

$e^{x + y} = - \frac{1}{y + K}$

Этап 9

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x + y}) = \ln (- \frac{1}{y + K})$

Этап 9.2

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Развернем $\ln (e^{x + y})$ , вынося $x + y$ из логарифма.

$(x + y) \ln (e) = \ln (- \frac{1}{y + K})$

Этап 9.2.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$(x + y) \cdot 1 = \ln (- \frac{1}{y + K})$

Этап 9.2.3

Умножим $x + y$ на $1$ .

$x + y = \ln (- \frac{1}{y + K})$

Этап 9.3

Вычтем $y$ из обеих частей уравнения.

$x = \ln (- \frac{1}{y + K}) - y$