Математический анализ Примеры

$x d y - (x^{2} y^{2} + y) d x = 0$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде, подходящем для применения метода решения уравнения в полных дифференциалах.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем.

$- (x^{2} y^{2} + y) d x + x d y = 0$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = - (x^{2} y^{2} + y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- (x^{2} y^{2} + y)]$

Этап 2.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- (x^{2} y^{2} + y)$ по $y$ равна $- \frac{d}{d y} [x^{2} y^{2} + y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [x^{2} y^{2} + y]$

Этап 2.3

По правилу суммы производная $x^{2} y^{2} + y$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{d}{d y} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [y])$

Этап 2.4

Поскольку $x^{2}$ является константой относительно $y$ , производная $x^{2} y^{2}$ по $y$ равна $x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [y])$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (x^{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [y])$

Этап 2.6

Перенесем $2$ влево от $x^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 \cdot x^{2} y + \frac{d}{d y} [y])$

Этап 2.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x^{2} y + 1)$

Этап 2.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x^{2} y) - 1 \cdot 1$

Этап 2.8.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 (x^{2} y) - 1 \cdot 1$

Этап 2.8.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x^{2} y - 1$

Этап 3

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Этап 4

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $- 2 x^{2} y - 1$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $1$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 x^{2} y - 1 = 1$

Этап 4.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$- 2 x^{2} y - 1 = 1$ не является тождеством.

Этап 5

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $1$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{1 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Этап 5.2

Подставим $- 2 x^{2} y - 1$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{1 - (- 2 x^{2} y - 1)}{M}$

Этап 5.3

Подставим $- (x^{2} y^{2} + y)$ вместо $M$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Подставим $- (x^{2} y^{2} + y)$ вместо $M$ .

$\frac{1 - (- 2 x^{2} y - 1)}{- (x^{2} y^{2} + y)}$

Этап 5.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 - (- 2 x^{2} y) - - 1}{- (x^{2} y^{2} + y)}$

Этап 5.3.2.2

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$\frac{1 + 2 (x^{2} y) - - 1}{- (x^{2} y^{2} + y)}$

Этап 5.3.2.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{1 + 2 (x^{2} y) + 1}{- (x^{2} y^{2} + y)}$

Этап 5.3.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 x^{2} y + 2}{- (x^{2} y^{2} + y)}$

Этап 5.3.2.5

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2} y + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.5.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2} y$ .

$\frac{2 (x^{2} y) + 2}{- (x^{2} y^{2} + y)}$

Этап 5.3.2.5.2

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (x^{2} y) + 2 (1)}{- (x^{2} y^{2} + y)}$

Этап 5.3.2.5.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (x^{2} y) + 2 (1)$ .

$\frac{2 (x^{2} y + 1)}{- (x^{2} y^{2} + y)}$

Этап 5.3.3

Вынесем множитель $y$ из $x^{2} y^{2} + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Вынесем множитель $y$ из $x^{2} y^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2} y + 1)}{- (y (x^{2} y) + y)}$

Этап 5.3.3.2

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{2 (x^{2} y + 1)}{- (y (x^{2} y) + y^{1})}$

Этап 5.3.3.3

Вынесем множитель $y$ из $y^{1}$ .

$\frac{2 (x^{2} y + 1)}{- (y (x^{2} y) + y \cdot 1)}$

Этап 5.3.3.4

Вынесем множитель $y$ из $y (x^{2} y) + y \cdot 1$ .

$\frac{2 (x^{2} y + 1)}{- (y (x^{2} y + 1))}$

$\frac{2 (x^{2} y + 1)}{- y (x^{2} y + 1)}$

Этап 5.3.4

Сократим общий множитель $x^{2} y + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (x^{2} y + 1)}{- y (x^{2} y + 1)}$

Этап 5.3.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{- y}$

Этап 5.3.5

Подставим $- (x^{2} y^{2} + y)$ вместо $M$ .

$- \frac{2}{y}$

Этап 5.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

Этап 6

Найдем интеграл $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

Этап 6.2

Поскольку $2$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

Этап 6.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

Этап 6.4

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

Этап 6.5

Упростим.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

Этап 6.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Упростим $- 2 \ln (| y |)$ путем переноса $- 2$ под логарифм.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

Этап 6.6.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

Этап 6.6.3

Уберем знак модуля в ${| y |}^{- 2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

Этап 6.6.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

Этап 7

Умножим обе стороны $- (x^{2} y^{2} + y) d x + x d y = 0$ на коэффициент интегрирования $\frac{1}{y^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $- (x^{2} y^{2} + y)$ на $\frac{1}{y^{2}}$ .

$- (x^{2} y^{2} + y) \frac{1}{y^{2}} d x + x d y = 0$

Этап 7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(- (x^{2} y^{2}) - y) \frac{1}{y^{2}} d x + x d y = 0$

Этап 7.3

Умножим $- x^{2} y^{2} - y$ на $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{- x^{2} y^{2} - y}{y^{2}} d x + x d y = 0$

Этап 7.4

Вынесем множитель $y$ из $- x^{2} y^{2} - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Вынесем множитель $y$ из $- x^{2} y^{2}$ .

$\frac{y (- x^{2} y) - y}{y^{2}} d x + x d y = 0$

Этап 7.4.2

Вынесем множитель $y$ из $- y$ .

$\frac{y (- x^{2} y) + y \cdot - 1}{y^{2}} d x + x d y = 0$

Этап 7.4.3

Вынесем множитель $y$ из $y (- x^{2} y) + y \cdot - 1$ .

$\frac{y (- x^{2} y - 1)}{y^{2}} d x + x d y = 0$

Этап 7.5

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Вынесем множитель $y$ из $y^{2}$ .

$\frac{y (- x^{2} y - 1)}{y \cdot y} d x + x d y = 0$

Этап 7.5.2

Сократим общий множитель.

$\frac{y (- x^{2} y - 1)}{y \cdot y} d x + x d y = 0$

Этап 7.5.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- x^{2} y - 1}{y} d x + x d y = 0$

Этап 7.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2} y$ .

$\frac{- (x^{2} y) - 1}{y} d x + x d y = 0$

Этап 7.7

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$\frac{- (x^{2} y) - 1 (1)}{y} d x + x d y = 0$

Этап 7.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2} y) - 1 (1)$ .

$\frac{- (x^{2} y + 1)}{y} d x + x d y = 0$

Этап 7.9

Перепишем $- (x^{2} y + 1)$ в виде $- 1 (x^{2} y + 1)$ .

$\frac{- 1 (x^{2} y + 1)}{y} d x + x d y = 0$

Этап 7.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{x^{2} y + 1}{y} d x + x d y = 0$

Этап 7.11

Умножим $x$ на $\frac{1}{y^{2}}$ .

$- \frac{x^{2} y + 1}{y} d x + x \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Этап 7.12

Объединим $x$ и $\frac{1}{y^{2}}$ .

$- \frac{x^{2} y + 1}{y} d x + \frac{x}{y^{2}} d y = 0$

Этап 8

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{x}{y^{2}} d y$

Этап 9

Проинтегрируем $N (x, y) = \frac{x}{y^{2}}$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Поскольку $x$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $x$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = x \int \frac{1}{y^{2}} d y$

Этап 9.2

Вынесем $y^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$f (x, y) = x \int {(y^{2})}^{- 1} d y$

Этап 9.3

Перемножим экспоненты в ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x, y) = x \int y^{2 \cdot - 1} d y$

Этап 9.3.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f (x, y) = x \int y^{- 2} d y$

Этап 9.4

По правилу степени интеграл $y^{- 2}$ по $y$ имеет вид $- y^{- 1}$ .

$f (x, y) = x (- y^{- 1} + C)$

Этап 9.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Перепишем $x (- y^{- 1} + C)$ в виде $x (- \frac{1}{y}) + C$ .

$f (x, y) = x (- \frac{1}{y}) + C$

Этап 9.5.2

Объединим $x$ и $\frac{1}{y}$ .

$f (x, y) = - \frac{x}{y} + C$

Этап 10

Так как интеграл $g (x)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{x}{y} + g (x)$

Этап 11

Зададим $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = - \frac{x^{2} y + 1}{y}$

Этап 12

Найдем $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Продифференцируем $f$ по $x$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{x}{y} + g (x)] = - \frac{x^{2} y + 1}{y}$

Этап 12.2

По правилу суммы производная $- \frac{x}{y} + g (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} y + 1}{y}$

Этап 12.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Поскольку $- \frac{1}{y}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{x}{y}$ по $x$ равна $- \frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} y + 1}{y}$

Этап 12.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \frac{1}{y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} y + 1}{y}$

Этап 12.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{1}{y} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} y + 1}{y}$

Этап 12.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (x)$ равна $\frac{d g}{d x}$ .

$- \frac{1}{y} + \frac{d g}{d x} = - \frac{x^{2} y + 1}{y}$

Этап 12.5

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d x} - \frac{1}{y} = - \frac{x^{2} y + 1}{y}$

Этап 13

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Перенесем все члены с переменными в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.1

Добавим $\frac{x^{2} y + 1}{y}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{d g}{d x} - \frac{1}{y} + \frac{x^{2} y + 1}{y} = 0$

Этап 13.1.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1 + x^{2} y + 1}{y} = 0$

Этап 13.1.1.3

Объединим противоположные члены в $- 1 + x^{2} y + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.3.1

Добавим $- 1$ и $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2} y + 0}{y} = 0$

Этап 13.1.1.3.2

Добавим $x^{2} y$ и $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2} y}{y} = 0$

Этап 13.1.1.4

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2} y}{y} = 0$

Этап 13.1.1.4.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$\frac{d g}{d x} + x^{2} = 0$

Этап 13.1.2

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d x} = - x^{2}$

Этап 14

Найдем первообразную $- x^{2}$ , чтобы найти $g (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d x} = - x^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - x^{2} d x$

Этап 14.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - x^{2} d x$

Этап 14.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$g (x) = - \int x^{2} d x$

Этап 14.4

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$g (x) = - (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Этап 14.5

Перепишем $- (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ в виде $- \frac{1}{3} x^{3} + C$ .

$g (x) = - \frac{1}{3} x^{3} + C$

Этап 15

Подставим выражение для $g (x)$ в $f (x, y) = - \frac{x}{y} + g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{x}{y} - \frac{1}{3} x^{3} + C$

Этап 16

Объединим $x^{3}$ и $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = - \frac{x}{y} - \frac{x^{3}}{3} + C$