Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \sec^{2} (x) {(2 + y)}^{2}$ , $y (π) = - 5$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{{(2 + y)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(2 + y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(2 + y)}^{2}} (\sec^{2} (x) {(2 + y)}^{2})$

Этап 1.2

Сократим общий множитель ${(2 + y)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель ${(2 + y)}^{2}$ из $\sec^{2} (x) {(2 + y)}^{2}$ .

$\frac{1}{{(2 + y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(2 + y)}^{2}} ({(2 + y)}^{2} \sec^{2} (x))$

Этап 1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{{(2 + y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(2 + y)}^{2}} ({(2 + y)}^{2} \sec^{2} (x))$

Этап 1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{{(2 + y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \sec^{2} (x)$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{{(2 + y)}^{2}} d y = \sec^{2} (x) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{{(2 + y)}^{2}} d y = \int \sec^{2} (x) d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть $u = 2 + y$ . Тогда $d u = d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Пусть $u = 2 + y$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Дифференцируем $2 + y$ .

$\frac{d}{d y} [2 + y]$

Этап 2.2.1.1.2

По правилу суммы производная $2 + y$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.2.1.1.3

Поскольку $2$ является константой относительно $y$ , производная $2$ относительно $y$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.2.1.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + 1$

Этап 2.2.1.1.5

Добавим $0$ и $1$ .

$1$

Этап 2.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{2}} d u = \int \sec^{2} (x) d x$

Этап 2.2.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вынесем $u^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int {(u^{2})}^{- 1} d u = \int \sec^{2} (x) d x$

Этап 2.2.2.2

Перемножим экспоненты в ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{2 \cdot - 1} d u = \int \sec^{2} (x) d x$

Этап 2.2.2.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int u^{- 2} d u = \int \sec^{2} (x) d x$

Этап 2.2.3

По правилу степени интеграл $u^{- 2}$ по $u$ имеет вид $- u^{- 1}$ .

$- u^{- 1} + C_{1} = \int \sec^{2} (x) d x$

Этап 2.2.4

Перепишем $- u^{- 1} + C_{1}$ в виде $- \frac{1}{u} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{u} + C_{1} = \int \sec^{2} (x) d x$

Этап 2.2.5

Заменим все вхождения $u$ на $2 + y$ .

$- \frac{1}{2 + y} + C_{1} = \int \sec^{2} (x) d x$

Этап 2.3

Поскольку производная $\tan (x)$ равна $\sec^{2} (x)$ , интеграл $\sec^{2} (x)$ равен $\tan (x)$ .

$- \frac{1}{2 + y} + C_{1} = \tan (x) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$- \frac{1}{2 + y} = \tan (x) + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$2 + y, 1, 1$

Этап 3.1.2

Избавимся от скобок.

$2 + y, 1, 1$

Этап 3.1.3

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$2 + y$

Этап 3.2

Каждый член в $- \frac{1}{2 + y} = \tan (x) + K$ умножим на $2 + y$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим каждый член $- \frac{1}{2 + y} = \tan (x) + K$ на $2 + y$ .

$- \frac{1}{2 + y} (2 + y) = \tan (x) (2 + y) + K (2 + y)$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $2 + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2 + y}$ в числитель.

$\frac{- 1}{2 + y} (2 + y) = \tan (x) (2 + y) + K (2 + y)$

Этап 3.2.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{2 + y} (2 + y) = \tan (x) (2 + y) + K (2 + y)$

Этап 3.2.2.1.3

Перепишем это выражение.

$- 1 = \tan (x) (2 + y) + K (2 + y)$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 1 = \tan (x) \cdot 2 + \tan (x) y + K (2 + y)$

Этап 3.2.3.1.2

Перенесем $2$ влево от $\tan (x)$ .

$- 1 = 2 \cdot \tan (x) + \tan (x) y + K (2 + y)$

Этап 3.2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 1 = 2 \tan (x) + \tan (x) y + K \cdot 2 + K y$

Этап 3.2.3.1.4

Перенесем $2$ влево от $K$ .

$- 1 = 2 \tan (x) + \tan (x) y + 2 K + K y$

Этап 3.2.3.2

Изменим порядок множителей в $2 \tan (x) + \tan (x) y + 2 K + K y$ .

$- 1 = 2 \tan (x) + y \tan (x) + 2 K + K y$

Этап 3.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $2 \tan (x) + y \tan (x) + 2 K + K y = - 1$ .

$2 \tan (x) + y \tan (x) + 2 K + K y = - 1$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вычтем $2 \tan (x)$ из обеих частей уравнения.

$y \tan (x) + 2 K + K y = - 1 - 2 \tan (x)$

Этап 3.3.2.2

Вычтем $2 K$ из обеих частей уравнения.

$y \tan (x) + K y = - 1 - 2 \tan (x) - 2 K$

Этап 3.3.3

Вынесем множитель $y$ из $y \tan (x) + K y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Вынесем множитель $y$ из $y \tan (x)$ .

$y (\tan (x)) + K y = - 1 - 2 \tan (x) - 2 K$

Этап 3.3.3.2

Вынесем множитель $y$ из $K y$ .

$y (\tan (x)) + y K = - 1 - 2 \tan (x) - 2 K$

Этап 3.3.3.3

Вынесем множитель $y$ из $y (\tan (x)) + y K$ .

$y (\tan (x) + K) = - 1 - 2 \tan (x) - 2 K$

Этап 3.3.4

Разделим каждый член $y (\tan (x) + K) = - 1 - 2 \tan (x) - 2 K$ на $\tan (x) + K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Разделим каждый член $y (\tan (x) + K) = - 1 - 2 \tan (x) - 2 K$ на $\tan (x) + K$ .

$\frac{y (\tan (x) + K)}{\tan (x) + K} = \frac{- 1}{\tan (x) + K} + \frac{- 2 \tan (x)}{\tan (x) + K} + \frac{- 2 K}{\tan (x) + K}$

Этап 3.3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.2.1

Сократим общий множитель $\tan (x) + K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (\tan (x) + K)}{\tan (x) + K} = \frac{- 1}{\tan (x) + K} + \frac{- 2 \tan (x)}{\tan (x) + K} + \frac{- 2 K}{\tan (x) + K}$

Этап 3.3.4.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- 1}{\tan (x) + K} + \frac{- 2 \tan (x)}{\tan (x) + K} + \frac{- 2 K}{\tan (x) + K}$

Этап 3.3.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.3.1

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.3.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.3.1.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{1}{\tan (x) + K} + \frac{- 2 \tan (x)}{\tan (x) + K} + \frac{- 2 K}{\tan (x) + K}$

Этап 3.3.4.3.1.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{1}{\tan (x) + K} - \frac{2 \tan (x)}{\tan (x) + K} + \frac{- 2 K}{\tan (x) + K}$

Этап 3.3.4.3.1.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{1}{\tan (x) + K} - \frac{2 \tan (x)}{\tan (x) + K} - \frac{2 K}{\tan (x) + K}$

Этап 3.3.4.3.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{- 1 - 2 \tan (x)}{\tan (x) + K} - \frac{2 K}{\tan (x) + K}$

Этап 3.3.4.3.1.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.3.1.3.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 - 2 \tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.3.1.3.1.1

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$y = \frac{- 1 (1) - 2 \tan (x)}{\tan (x) + K} - \frac{2 K}{\tan (x) + K}$

Этап 3.3.4.3.1.3.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 \tan (x)$ .

$y = \frac{- 1 (1) - (2 \tan (x))}{\tan (x) + K} - \frac{2 K}{\tan (x) + K}$

Этап 3.3.4.3.1.3.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - (2 \tan (x))$ .

$y = \frac{- 1 (1 + 2 \tan (x))}{\tan (x) + K} - \frac{2 K}{\tan (x) + K}$

Этап 3.3.4.3.1.3.1.4

Перепишем $- 1 (1 + 2 \tan (x))$ в виде $- (1 + 2 \tan (x))$ .

$y = \frac{- (1 + 2 \tan (x))}{\tan (x) + K} - \frac{2 K}{\tan (x) + K}$

Этап 3.3.4.3.1.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{1 + 2 \tan (x)}{\tan (x) + K} - \frac{2 K}{\tan (x) + K}$

Этап 3.3.4.3.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{- (1 + 2 \tan (x)) - 2 K}{\tan (x) + K}$

Этап 3.3.4.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- 1 \cdot 1 - (2 \tan (x)) - 2 K}{\tan (x) + K}$

Этап 3.3.4.3.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$y = \frac{- 1 - (2 \tan (x)) - 2 K}{\tan (x) + K}$

Этап 3.3.4.3.2.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$y = \frac{- 1 - 2 \tan (x) - 2 K}{\tan (x) + K}$

Этап 3.3.4.3.3

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.3.3.1

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$y = \frac{- 1 (1) - 2 \tan (x) - 2 K}{\tan (x) + K}$

Этап 3.3.4.3.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 \tan (x)$ .

$y = \frac{- 1 (1) - (2 \tan (x)) - 2 K}{\tan (x) + K}$

Этап 3.3.4.3.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - (2 \tan (x))$ .

$y = \frac{- 1 (1 + 2 \tan (x)) - 2 K}{\tan (x) + K}$

Этап 3.3.4.3.3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 K$ .

$y = \frac{- 1 (1 + 2 \tan (x)) - (2 K)}{\tan (x) + K}$

Этап 3.3.4.3.3.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1 + 2 \tan (x)) - (2 K)$ .

$y = \frac{- 1 (1 + 2 \tan (x) + 2 K)}{\tan (x) + K}$

Этап 3.3.4.3.3.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{1 + 2 \tan (x) + 2 K}{\tan (x) + K}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = - \frac{1 + 2 \tan (x) + K}{\tan (x) + K}$

Этап 5

Используем начальное условие, чтобы найти значение $K$ , подставив $π$ вместо $x$ и $- 5$ вместо $y$ в $y = - \frac{1 + 2 \tan (x) + K}{\tan (x) + K}$ .

$- 5 = - \frac{1 + 2 \tan (π) + K}{\tan (π) + K}$

Этап 6

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем уравнение в виде $- \frac{1 + 2 \tan (π) + K}{\tan (π) + K} = - 5$ .

$- \frac{1 + 2 \tan (π) + K}{\tan (π) + K} = - 5$

Этап 6.2

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как тангенс отрицательный во втором квадранте.

$- \frac{1 + 2 (- \tan (0)) + K}{\tan (π) + K} = - 5$

Этап 6.2.2

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

$- \frac{1 + 2 (- 0) + K}{\tan (π) + K} = - 5$

Этап 6.2.3

Умножим $2 (- 0)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$- \frac{1 + 2 \cdot 0 + K}{\tan (π) + K} = - 5$

Этап 6.2.3.2

Умножим $2$ на $0$ .

$- \frac{1 + 0 + K}{\tan (π) + K} = - 5$

Этап 6.2.4

Добавим $1$ и $0$ .

$- \frac{1 + K}{\tan (π) + K} = - 5$

Этап 6.2.5

$- \frac{1 + K}{- \tan (0) + K} = - 5$

Этап 6.2.6

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

$- \frac{1 + K}{- 0 + K} = - 5$

Этап 6.2.7

Умножим $- 1$ на $0$ .

$- \frac{1 + K}{0 + K} = - 5$

Этап 6.2.8

Добавим $0$ и $K$ .

$- \frac{1 + K}{K} = - 5$

Этап 6.3

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$K, 1$

Этап 6.3.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$K$

Этап 6.4

Каждый член в $- \frac{1 + K}{K} = - 5$ умножим на $K$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Умножим каждый член $- \frac{1 + K}{K} = - 5$ на $K$ .

$- \frac{1 + K}{K} K = - 5 K$

Этап 6.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Сократим общий множитель $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1 + K}{K}$ в числитель.

$\frac{- (1 + K)}{K} K = - 5 K$

Этап 6.4.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- (1 + K)}{K} K = - 5 K$

Этап 6.4.2.1.3

Перепишем это выражение.

$- (1 + K) = - 5 K$

Этап 6.4.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 1 \cdot 1 - K = - 5 K$

Этап 6.4.2.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1 - K = - 5 K$

Этап 6.5

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Перенесем все члены с $K$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1.1

Добавим $5 K$ к обеим частям уравнения.

$- 1 - K + 5 K = 0$

Этап 6.5.1.2

Добавим $- K$ и $5 K$ .

$- 1 + 4 K = 0$

Этап 6.5.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$4 K = 1$

Этап 6.5.3

Разделим каждый член $4 K = 1$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.3.1

Разделим каждый член $4 K = 1$ на $4$ .

$\frac{4 K}{4} = \frac{1}{4}$

Этап 6.5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.3.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 K}{4} = \frac{1}{4}$

Этап 6.5.3.2.1.2

Разделим $K$ на $1$ .

$K = \frac{1}{4}$

Этап 7

Подставим $\frac{1}{4}$ вместо $K$ в $y = - \frac{1 + 2 \tan (x) + K}{\tan (x) + K}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Подставим $\frac{1}{4}$ вместо $K$ .

$y = - \frac{1 + 2 \tan (x) + \frac{1}{4}}{\tan (x) + K}$

Этап 7.2

Умножим числитель и знаменатель дроби на $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим $\frac{1 + 2 \tan (x) + \frac{1}{4}}{\tan (x) + K}$ на $\frac{4}{4}$ .

$y = - (\frac{4}{4} \cdot \frac{1 + 2 \tan (x) + \frac{1}{4}}{\tan (x) + K})$

Этап 7.2.2

Объединим.

$y = - \frac{4 (1 + 2 \tan (x) + \frac{1}{4})}{4 (\tan (x) + K)}$

Этап 7.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - \frac{4 \cdot 1 + 4 (2 \tan (x)) + 4 (\frac{1}{4})}{4 \tan (x) + 4 K}$

Этап 7.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Сократим общий множитель.

$y = - \frac{4 \cdot 1 + 4 (2 \tan (x)) + 4 (\frac{1}{4})}{4 \tan (x) + 4 K}$

Этап 7.4.2

Перепишем это выражение.

$y = - \frac{4 \cdot 1 + 4 (2 \tan (x)) + 1}{4 \tan (x) + 4 K}$

Этап 7.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Умножим $4$ на $1$ .

$y = - \frac{4 + 4 \cdot 2 \tan (x) + 1}{4 \tan (x) + 4 K}$

Этап 7.5.2

Умножим $4$ на $2$ .

$y = - \frac{4 + 8 \tan (x) + 1}{4 \tan (x) + 4 K}$

Этап 7.5.3

Добавим $4$ и $1$ .

$y = - \frac{5 + 8 \tan (x)}{4 \tan (x) + 4 K}$

Этап 7.6

Вынесем множитель $4$ из $4 \tan (x) + 4 K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1

Вынесем множитель $4$ из $4 \tan (x)$ .

$y = - \frac{5 + 8 \tan (x)}{4 (\tan (x)) + 4 K}$

Этап 7.6.2

Вынесем множитель $4$ из $4 K$ .

$y = - \frac{5 + 8 \tan (x)}{4 (\tan (x)) + 4 (K)}$

Этап 7.6.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (\tan (x)) + 4 (K)$ .

$y = - \frac{5 + 8 \tan (x)}{4 (\tan (x) + K)}$