Математический анализ Примеры

$(x^{2} + 1) d x + x^{2} y^{2} d y = 0$

Этап 1

Вычтем $(x^{2} + 1) d x$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} y^{2} d y = - (x^{2} + 1) d x$

Этап 2

Умножим обе части на $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2}} (- (x^{2} + 1)) d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} (x^{2} (y^{2})) d y = \frac{1}{x^{2}} (- (x^{2} + 1)) d x$

Этап 3.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{x^{2}} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2}} (- (x^{2} + 1)) d x$

Этап 3.1.3

Перепишем это выражение.

$y^{2} d y = \frac{1}{x^{2}} (- (x^{2} + 1)) d x$

Этап 3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y^{2} d y = - \frac{1}{x^{2}} (x^{2} + 1) d x$

Этап 3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} d y = (- \frac{1}{x^{2}} x^{2} - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1) d x$

Этап 3.4

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{x^{2}}$ в числитель.

$y^{2} d y = (\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1) d x$

Этап 3.4.2

Сократим общий множитель.

$y^{2} d y = (\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1) d x$

Этап 3.4.3

Перепишем это выражение.

$y^{2} d y = (- 1 - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1) d x$

Этап 3.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$y^{2} d y = (- 1 - \frac{1}{x^{2}}) d x$

Этап 4

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int y^{2} d y = \int - 1 - \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 4.2

По правилу степени интеграл $y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int - 1 - \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 4.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int - 1 d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 4.3.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x + C_{2} + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 4.3.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x + C_{2} - \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 4.3.4

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x + C_{2} - \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 4.3.4.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x + C_{2} - \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Этап 4.3.4.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x + C_{2} - \int x^{- 2} d x$

Этап 4.3.5

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x + C_{2} - (- x^{- 1} + C_{3})$

Этап 4.3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.1

Упростим.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x - - \frac{1}{x} + C_{4}$

Этап 4.3.6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x + 1 \frac{1}{x} + C_{4}$

Этап 4.3.6.2.2

Умножим $\frac{1}{x}$ на $1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x + \frac{1}{x} + C_{4}$

Этап 4.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = - x + \frac{1}{x} + K$

Этап 5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим обе части уравнения на $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (- x + \frac{1}{x} + K)$

Этап 5.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Упростим $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- x + \frac{1}{x} + K)$

Этап 5.2.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- x + \frac{1}{x} + K)$

Этап 5.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{3} = 3 (- x + \frac{1}{x} + K)$

Этап 5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Упростим $3 (- x + \frac{1}{x} + K)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{3} = 3 (- x) + 3 \frac{1}{x} + 3 K$

Этап 5.2.2.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.2.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$y^{3} = - 3 x + 3 \frac{1}{x} + 3 K$

Этап 5.2.2.1.2.2

Объединим $3$ и $\frac{1}{x}$ .

$y^{3} = - 3 x + \frac{3}{x} + 3 K$

Этап 5.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \sqrt[3]{- 3 x + \frac{3}{x} + 3 K}$

Этап 5.4

Упростим $\sqrt[3]{- 3 x + \frac{3}{x} + 3 K}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3 x + \frac{3}{x} + 3 K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3 x$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- x) + \frac{3}{x} + 3 K}$

Этап 5.4.1.2

Вынесем множитель $3$ из $\frac{3}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- x) + 3 \frac{1}{x} + 3 K}$

Этап 5.4.1.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (- x) + 3 \frac{1}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- x + \frac{1}{x}) + 3 K}$

Этап 5.4.1.4

Вынесем множитель $3$ из $3 (- x + \frac{1}{x}) + 3 K$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- x + \frac{1}{x} + K)}$

Этап 5.4.2

Чтобы записать $- x$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- x \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x} + K)}$

Этап 5.4.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Объединим $- x$ и $\frac{x}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{- x \cdot x}{x} + \frac{1}{x} + K)}$

Этап 5.4.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{- x \cdot x + 1}{x} + K)}$

Этап 5.4.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.4.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{- x \cdot x + 1^{2}}{x} + K)}$

Этап 5.4.4.2

Перепишем $x \cdot x$ в виде $x^{2}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{- x^{2} + 1^{2}}{x} + K)}$

Этап 5.4.4.3

Изменим порядок $- x^{2}$ и $1^{2}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{1^{2} - x^{2}}{x} + K)}$

Этап 5.4.4.4

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = x$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{(1 + x) (1 - x)}{x} + K)}$

Этап 5.4.5

Чтобы записать $K$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{(1 + x) (1 - x)}{x} + \frac{K x}{x})}$

Этап 5.4.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{(1 + x) (1 - x) + K x}{x}}$

Этап 5.4.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.7.1

Развернем $(1 + x) (1 - x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.7.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 (1 - x) + x (1 - x) + K x}{x}}$

Этап 5.4.7.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x) + K x}{x}}$

Этап 5.4.7.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) + K x}{x}}$

Этап 5.4.7.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.7.2.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) + K x}{x}}$

Этап 5.4.7.2.1.2

Умножим $- x$ на $1$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 - x + x \cdot 1 + x (- x) + K x}{x}}$

Этап 5.4.7.2.1.3

Умножим $x$ на $1$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 - x + x + x (- x) + K x}{x}}$

Этап 5.4.7.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 - x + x - x \cdot x + K x}{x}}$

Этап 5.4.7.2.1.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.7.2.1.5.1

Перенесем $x$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 - x + x - (x \cdot x) + K x}{x}}$

Этап 5.4.7.2.1.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 - x + x - x^{2} + K x}{x}}$

Этап 5.4.7.2.2

Добавим $- x$ и $x$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 + 0 - x^{2} + K x}{x}}$

Этап 5.4.7.2.3

Добавим $1$ и $0$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 - x^{2} + K x}{x}}$

Этап 5.4.8

Объединим $3$ и $\frac{1 - x^{2} + K x}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 (1 - x^{2} + K x)}{x}}$

Этап 5.4.9

Перепишем $\sqrt[3]{\frac{3 (1 - x^{2} + K x)}{x}}$ в виде $\frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)}}{\sqrt[3]{x}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)}}{\sqrt[3]{x}}$

Этап 5.4.10

Умножим $\frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)}}{\sqrt[3]{x}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)}}{\sqrt[3]{x}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Этап 5.4.11

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.11.1

Умножим $\frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)}}{\sqrt[3]{x}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Этап 5.4.11.2

Возведем $\sqrt[3]{x}$ в степень $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{1} {\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Этап 5.4.11.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{1 + 2}}$

Этап 5.4.11.4

Добавим $1$ и $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{3}}$

Этап 5.4.11.5

Перепишем ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ в виде $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.11.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Этап 5.4.11.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Этап 5.4.11.5.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{3}{3}}}$

Этап 5.4.11.5.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.11.5.4.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{3}{3}}}$

Этап 5.4.11.5.4.2

Перепишем это выражение.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{1}}$

Этап 5.4.11.5.5

Упростим.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x}$

Этап 5.4.12

Перепишем ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ в виде $\sqrt[3]{x^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} \sqrt[3]{x^{2}}}{x}$

Этап 5.4.13

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x) x^{2}}}{x}$

Этап 5.4.14

Изменим порядок множителей в $\frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x) x^{2}}}{x}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} (1 - x^{2} + K x)}}{x}$