Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = \frac{\sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int \frac{\sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)} d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int \frac{\sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перепишем $\frac{\sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$ в виде ${(\frac{\sec (x)}{\tan (x)})}^{2}$ .

$y + C_{1} = \int {(\frac{\sec (x)}{\tan (x)})}^{2} d x$

Этап 2.3.2

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$y + C_{1} = \int {(\frac{\sec (x)}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}})}^{2} d x$

Этап 2.3.3

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$y + C_{1} = \int {(\frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}})}^{2} d x$

Этап 2.3.4

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$y + C_{1} = \int {(\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2} d x$

Этап 2.3.5

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Сократим общий множитель.

$y + C_{1} = \int {(\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2} d x$

Этап 2.3.5.2

Перепишем это выражение.

$y + C_{1} = \int {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} d x$

Этап 2.3.6

Переведем $\frac{1}{\sin (x)}$ в $\csc (x)$ .

$y + C_{1} = \int \csc^{2} (x) d x$

Этап 2.3.7

Поскольку производная $- \cot (x)$ равна $\csc^{2} (x)$ , интеграл $\csc^{2} (x)$ равен $- \cot (x)$ .

$y + C_{1} = - \cot (x) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = - \cot (x) + K$