Математический анализ Примеры

$\frac{d y (t)}{d t} = 2 t^{2}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим $\frac{d y}{d t}$ на множители.

$t \frac{d y}{d t} = 2 t^{2}$

Этап 1.2

Разделим каждый член $t \frac{d y}{d t} = 2 t^{2}$ на $t$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Разделим каждый член $t \frac{d y}{d t} = 2 t^{2}$ на $t$ .

$\frac{t \frac{d y}{d t}}{t} = \frac{2 t^{2}}{t}$

Этап 1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Сократим общий множитель $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{t \frac{d y}{d t}}{t} = \frac{2 t^{2}}{t}$

Этап 1.2.2.1.2

Разделим $\frac{d y}{d t}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{2 t^{2}}{t}$

Этап 1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Сократим общий множитель $t^{2}$ и $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.1

Вынесем множитель $t$ из $2 t^{2}$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{t (2 t)}{t}$

Этап 1.2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.2.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{t (2 t)}{t^{1}}$

Этап 1.2.3.1.2.2

Вынесем множитель $t$ из $t^{1}$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{t (2 t)}{t \cdot 1}$

Этап 1.2.3.1.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d t} = \frac{t (2 t)}{t \cdot 1}$

Этап 1.2.3.1.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d t} = \frac{2 t}{1}$

Этап 1.2.3.1.2.5

Разделим $2 t$ на $1$ .

$\frac{d y}{d t} = 2 t$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$d y = 2 t d t$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int 2 t d t$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int 2 t d t$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = 2 \int t d t$

Этап 2.3.2

По правилу степени интеграл $t$ по $t$ имеет вид $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2})$

Этап 2.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Перепишем $2 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2})$ в виде $2 (\frac{1}{2}) t^{2} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{2}) t^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{2} t^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$y + C_{1} = \frac{2}{2} t^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$y + C_{1} = 1 t^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.3

Умножим $t^{2}$ на $1$ .

$y + C_{1} = t^{2} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = t^{2} + K$