Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} + 2 y \cdot y^{2} = 0$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Решим относительно $\frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Умножим $y$ на $y^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Перенесем $y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} + 2 (y^{2} y) = 0$

Этап 1.1.1.2

Умножим $y^{2}$ на $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{d y}{d x} + 2 (y^{2} y^{1}) = 0$

Этап 1.1.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d y}{d x} + 2 y^{2 + 1} = 0$

Этап 1.1.1.3

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{d y}{d x} + 2 y^{3} = 0$

Этап 1.1.2

Вычтем $2 y^{3}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d y}{d x} = - 2 y^{3}$

Этап 1.2

Умножим обе части на $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} (- 2 y^{3})$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = - 2 \frac{1}{y^{3}} y^{3}$

Этап 1.3.2

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{- 2}{y^{3}} y^{3}$

Этап 1.3.3

Сократим общий множитель $y^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{- 2}{y^{3}} y^{3}$

Этап 1.3.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = - 2$

Этап 1.4

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y^{3}} d y = - 2 d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y^{3}} d y = \int - 2 d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем $y^{3}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int {(y^{3})}^{- 1} d y = \int - 2 d x$

Этап 2.2.1.2

Перемножим экспоненты в ${(y^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{3 \cdot - 1} d y = \int - 2 d x$

Этап 2.2.1.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\int y^{- 3} d y = \int - 2 d x$

Этап 2.2.2

По правилу степени интеграл $y^{- 3}$ по $y$ имеет вид $- \frac{1}{2} y^{- 2}$ .

$- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1} = \int - 2 d x$

Этап 2.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Перепишем $- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1}$ в виде $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C_{1} = \int - 2 d x$

Этап 2.2.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.1

Умножим $\frac{1}{y^{2}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{y^{2} \cdot 2} + C_{1} = \int - 2 d x$

Этап 2.2.3.2.2

Перенесем $2$ влево от $y^{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \int - 2 d x$

Этап 2.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = - 2 x + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} = - 2 x + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$2 y^{2}, 1, 1$

Этап 3.1.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$2 y^{2}$

Этап 3.2

Каждый член в $- \frac{1}{2 y^{2}} = - 2 x + K$ умножим на $2 y^{2}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим каждый член $- \frac{1}{2 y^{2}} = - 2 x + K$ на $2 y^{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = - 2 x (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $2 y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2 y^{2}}$ в числитель.

$\frac{- 1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = - 2 x (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Этап 3.2.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = - 2 x (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Этап 3.2.2.1.3

Перепишем это выражение.

$- 1 = - 2 x (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 1 = - 2 \cdot 2 x y^{2} + K (2 y^{2})$

Этап 3.2.3.1.2

Умножим $- 2$ на $2$ .

$- 1 = - 4 x y^{2} + K (2 y^{2})$

Этап 3.2.3.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 1 = - 4 x y^{2} + 2 K y^{2}$

Этап 3.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $- 4 x y^{2} + 2 K y^{2} = - 1$ .

$- 4 x y^{2} + 2 K y^{2} = - 1$

Этап 3.3.2

Вынесем множитель $2 y^{2}$ из $- 4 x y^{2} + 2 K y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вынесем множитель $2 y^{2}$ из $- 4 x y^{2}$ .

$2 y^{2} (- 2 x) + 2 K y^{2} = - 1$

Этап 3.3.2.2

Вынесем множитель $2 y^{2}$ из $2 K y^{2}$ .

$2 y^{2} (- 2 x) + 2 y^{2} K = - 1$

Этап 3.3.2.3

Вынесем множитель $2 y^{2}$ из $2 y^{2} (- 2 x) + 2 y^{2} K$ .

$2 y^{2} (- 2 x + K) = - 1$

Этап 3.3.3

Разделим каждый член $2 y^{2} (- 2 x + K) = - 1$ на $2 (- 2 x + K)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Разделим каждый член $2 y^{2} (- 2 x + K) = - 1$ на $2 (- 2 x + K)$ .

$\frac{2 y^{2} (- 2 x + K)}{2 (- 2 x + K)} = \frac{- 1}{2 (- 2 x + K)}$

Этап 3.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y^{2} (- 2 x + K)}{2 (- 2 x + K)} = \frac{- 1}{2 (- 2 x + K)}$

Этап 3.3.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y^{2} (- 2 x + K)}{- 2 x + K} = \frac{- 1}{2 (- 2 x + K)}$

Этап 3.3.3.2.2

Сократим общий множитель $- 2 x + K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y^{2} (- 2 x + K)}{- 2 x + K} = \frac{- 1}{2 (- 2 x + K)}$

Этап 3.3.3.2.2.2

Разделим $y^{2}$ на $1$ .

$y^{2} = \frac{- 1}{2 (- 2 x + K)}$

Этап 3.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y^{2} = - \frac{1}{2 (- 2 x + K)}$

Этап 3.3.3.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 x$ .

$y^{2} = - \frac{1}{2 (- (2 x) + K)}$

Этап 3.3.3.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $K$ .

$y^{2} = - \frac{1}{2 (- (2 x) - 1 (- K))}$

Этап 3.3.3.3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 x) - 1 (- K)$ .

$y^{2} = - \frac{1}{2 (- (2 x - K))}$

Этап 3.3.3.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.3.5.1

Перепишем $- (2 x - K)$ в виде $- 1 (2 x - K)$ .

$y^{2} = - \frac{1}{2 (- 1 (2 x - K))}$

Этап 3.3.3.3.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y^{2} = - - \frac{1}{2 (2 x - K)}$

Этап 3.3.3.3.5.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y^{2} = 1 \frac{1}{2 (2 x - K)}$

Этап 3.3.3.3.5.4

Умножим $\frac{1}{2 (2 x - K)}$ на $1$ .

$y^{2} = \frac{1}{2 (2 x - K)}$

Этап 3.3.4

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{\frac{1}{2 (2 x - K)}}$

Этап 3.3.5

Упростим $\pm \sqrt{\frac{1}{2 (2 x - K)}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{2 (2 x - K)}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2 (2 x - K)}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2 (2 x - K)}}$

Этап 3.3.5.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$y = \pm \frac{1}{\sqrt{2 (2 x - K)}}$

Этап 3.3.5.3

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2 (2 x - K)}}$ на $\frac{\sqrt{2 (2 x - K)}}{\sqrt{2 (2 x - K)}}$ .

$y = \pm \frac{1}{\sqrt{2 (2 x - K)}} \cdot \frac{\sqrt{2 (2 x - K)}}{\sqrt{2 (2 x - K)}}$

Этап 3.3.5.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.4.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2 (2 x - K)}}$ на $\frac{\sqrt{2 (2 x - K)}}{\sqrt{2 (2 x - K)}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x - K)}}{\sqrt{2 (2 x - K)} \sqrt{2 (2 x - K)}}$

Этап 3.3.5.4.2

Возведем $\sqrt{2 (2 x - K)}$ в степень $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x - K)}}{{\sqrt{2 (2 x - K)}}^{1} \sqrt{2 (2 x - K)}}$

Этап 3.3.5.4.3

Возведем $\sqrt{2 (2 x - K)}$ в степень $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x - K)}}{{\sqrt{2 (2 x - K)}}^{1} {\sqrt{2 (2 x - K)}}^{1}}$

Этап 3.3.5.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x - K)}}{{\sqrt{2 (2 x - K)}}^{1 + 1}}$

Этап 3.3.5.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x - K)}}{{\sqrt{2 (2 x - K)}}^{2}}$

Этап 3.3.5.4.6

Перепишем ${\sqrt{2 (2 x - K)}}^{2}$ в виде $2 (2 x - K)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 (2 x - K)}$ в виде ${(2 (2 x - K))}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x - K)}}{{({(2 (2 x - K))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 3.3.5.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x - K)}}{{(2 (2 x - K))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 3.3.5.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x - K)}}{{(2 (2 x - K))}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.3.5.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x - K)}}{{(2 (2 x - K))}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.3.5.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x - K)}}{{(2 (2 x - K))}^{1}}$

Этап 3.3.5.4.6.5

Упростим.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x - K)}}{2 (2 x - K)}$

Этап 3.3.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \frac{\sqrt{2 (2 x - K)}}{2 (2 x - K)}$

Этап 3.3.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \frac{\sqrt{2 (2 x - K)}}{2 (2 x - K)}$

Этап 3.3.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \frac{\sqrt{2 (2 x - K)}}{2 (2 x - K)}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (2 x - K)}}{2 (2 x - K)}$

$y = \frac{\sqrt{2 (2 x - K)}}{2 (2 x - K)}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (2 x - K)}}{2 (2 x - K)}$

$y = \frac{\sqrt{2 (2 x - K)}}{2 (2 x - K)}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (2 x - K)}}{2 (2 x - K)}$

$y = \frac{\sqrt{2 (2 x - K)}}{2 (2 x - K)}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (2 x - K)}}{2 (2 x - K)}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{\sqrt{2 (2 x + K)}}{2 (2 x + K)}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (2 x + K)}}{2 (2 x + K)}$