Математический анализ Примеры

$y (x - 1) d y + x (y - 1) d x = 0$

Этап 1

Вычтем $x (y - 1) d x$ из обеих частей уравнения.

$y (x - 1) d y = - x (y - 1) d x$

Этап 2

Умножим обе части на $\frac{1}{(x - 1) (y - 1)}$ .

$\frac{1}{(x - 1) (y - 1)} (y (x - 1)) d y = \frac{1}{(x - 1) (y - 1)} (- x (y - 1)) d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $x - 1$ из $y (x - 1)$ .

$\frac{1}{(x - 1) (y - 1)} ((x - 1) y) d y = \frac{1}{(x - 1) (y - 1)} (- x (y - 1)) d x$

Этап 3.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{(x - 1) (y - 1)} ((x - 1) y) d y = \frac{1}{(x - 1) (y - 1)} (- x (y - 1)) d x$

Этап 3.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y - 1} y d y = \frac{1}{(x - 1) (y - 1)} (- x (y - 1)) d x$

Этап 3.2

Объединим $\frac{1}{y - 1}$ и $y$ .

$\frac{y}{y - 1} d y = \frac{1}{(x - 1) (y - 1)} (- x (y - 1)) d x$

Этап 3.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{y}{y - 1} d y = - \frac{1}{(x - 1) (y - 1)} (x (y - 1)) d x$

Этап 3.4

Сократим общий множитель $y - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{(x - 1) (y - 1)}$ в числитель.

$\frac{y}{y - 1} d y = \frac{- 1}{(x - 1) (y - 1)} (x (y - 1)) d x$

Этап 3.4.2

Вынесем множитель $y - 1$ из $(x - 1) (y - 1)$ .

$\frac{y}{y - 1} d y = \frac{- 1}{(y - 1) (x - 1)} (x (y - 1)) d x$

Этап 3.4.3

Вынесем множитель $y - 1$ из $x (y - 1)$ .

$\frac{y}{y - 1} d y = \frac{- 1}{(y - 1) (x - 1)} ((y - 1) x) d x$

Этап 3.4.4

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{y - 1} d y = \frac{- 1}{(y - 1) (x - 1)} ((y - 1) x) d x$

Этап 3.4.5

Перепишем это выражение.

$\frac{y}{y - 1} d y = \frac{- 1}{x - 1} x d x$

Этап 3.5

Объединим $\frac{- 1}{x - 1}$ и $x$ .

$\frac{y}{y - 1} d y = \frac{- x}{x - 1} d x$

Этап 3.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{y}{y - 1} d y = - \frac{x}{x - 1} d x$

Этап 4

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{y}{y - 1} d y = \int - \frac{x}{x - 1} d x$

Этап 4.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Разделим $y$ на $y - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$y$

$1$

$y$

$0$

Этап 4.2.1.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $y$ на член с максимальной степенью в делителе $y$ .

					$1$
	$y$	-	$1$		$y$	+	$0$

Этап 4.2.1.3

Умножим новое частное на делитель.

				$1$
$y$	-	$1$		$y$	+	$0$
			+	$y$	-	$1$

Этап 4.2.1.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $y - 1$ .

				$1$
$y$	-	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	+	$1$

Этап 4.2.1.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$1$
$y$	-	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	+	$1$
					+	$1$

Этап 4.2.1.6

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$\int 1 + \frac{1}{y - 1} d y = \int - \frac{x}{x - 1} d x$

Этап 4.2.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int d y + \int \frac{1}{y - 1} d y = \int - \frac{x}{x - 1} d x$

Этап 4.2.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} + \int \frac{1}{y - 1} d y = \int - \frac{x}{x - 1} d x$

Этап 4.2.4

Пусть $u_{1} = y - 1$ . Тогда $d u_{1} = d y$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Пусть $u_{1} = y - 1$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1.1

Дифференцируем $y - 1$ .

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

Этап 4.2.4.1.2

По правилу суммы производная $y - 1$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Этап 4.2.4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Этап 4.2.4.1.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- 1$ относительно $y$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 4.2.4.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 4.2.4.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$y + C_{1} + \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{x}{x - 1} d x$

Этап 4.2.5

Интеграл $\frac{1}{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $\ln (| u_{1} |)$ .

$y + C_{1} + \ln (| u_{1} |) + C_{2} = \int - \frac{x}{x - 1} d x$

Этап 4.2.6

Упростим.

$y + \ln (| u_{1} |) + C_{3} = \int - \frac{x}{x - 1} d x$

Этап 4.2.7

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $y - 1$ .

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = \int - \frac{x}{x - 1} d x$

Этап 4.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = - \int \frac{x}{x - 1} d x$

Этап 4.3.2

Разделим $x$ на $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

$x$

$1$

$x$

$0$

Этап 4.3.2.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$1$
	$x$	-	$1$		$x$	+	$0$

Этап 4.3.2.3

Умножим новое частное на делитель.

				$1$
$x$	-	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	-	$1$

Этап 4.3.2.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x - 1$ .

				$1$
$x$	-	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	+	$1$

Этап 4.3.2.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$1$
$x$	-	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	+	$1$
					+	$1$

Этап 4.3.2.6

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = - \int 1 + \frac{1}{x - 1} d x$

Этап 4.3.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = - (\int d x + \int \frac{1}{x - 1} d x)$

Этап 4.3.4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = - (x + C_{4} + \int \frac{1}{x - 1} d x)$

Этап 4.3.5

Пусть $u_{2} = x - 1$ . Тогда $d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Пусть $u_{2} = x - 1$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1.1

Дифференцируем $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Этап 4.3.5.1.2

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 4.3.5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 4.3.5.1.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 4.3.5.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 4.3.5.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = - (x + C_{4} + \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Этап 4.3.6

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = - (x + C_{4} + \ln (| u_{2} |) + C_{5})$

Этап 4.3.7

Упростим.

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = - (x + \ln (| u_{2} |)) + C_{6}$

Этап 4.3.8

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x - 1$ .

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = - (x + \ln (| x - 1 |)) + C_{6}$

Этап 4.3.9

Применим свойство дистрибутивности.

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = - x - \ln (| x - 1 |) + C_{6}$

Этап 4.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$y + \ln (| y - 1 |) = - x - \ln (| x - 1 |) + C$