Математический анализ Примеры

$y' \tan (x) = 2 y - 8$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение.

$\frac{d y}{d x} \tan (x) = 2 y - 8$

Этап 2

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разделим каждый член $\frac{d y}{d x} \tan (x) = 2 y - 8$ на $\tan (x)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Разделим каждый член $\frac{d y}{d x} \tan (x) = 2 y - 8$ на $\tan (x)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} \tan (x)}{\tan (x)} = \frac{2 y}{\tan (x)} + \frac{- 8}{\tan (x)}$

Этап 2.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Сократим общий множитель $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{d y}{d x} \tan (x)}{\tan (x)} = \frac{2 y}{\tan (x)} + \frac{- 8}{\tan (x)}$

Этап 2.1.2.1.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{\tan (x)} + \frac{- 8}{\tan (x)}$

Этап 2.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1.1

Разделим дроби.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{\tan (x)} + \frac{- 8}{1} \cdot \frac{1}{\tan (x)}$

Этап 2.1.3.1.2

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{\tan (x)} + \frac{- 8}{1} \cdot \frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Этап 2.1.3.1.3

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{\tan (x)} + \frac{- 8}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 2.1.3.1.4

Переведем $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ в $\cot (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{\tan (x)} + \frac{- 8}{1} \cot (x)$

Этап 2.1.3.1.5

Разделим $- 8$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{\tan (x)} - 8 \cot (x)$

Этап 2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $\frac{2 y}{\tan (x)} - 8 \cot (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $\frac{2 y}{\tan (x)}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 \frac{y}{\tan (x)} - 8 \cot (x)$

Этап 2.2.1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 8 \cot (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 \frac{y}{\tan (x)} + 2 (- 4 \cot (x))$

Этап 2.2.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 \frac{y}{\tan (x)} + 2 (- 4 \cot (x))$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 (\frac{y}{\tan (x)} - 4 \cot (x))$

Этап 2.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Разделим дроби.

$\frac{d y}{d x} = 2 (\frac{y}{1} \cdot \frac{1}{\tan (x)} - 4 \cot (x))$

Этап 2.2.2.2

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{d y}{d x} = 2 (\frac{y}{1} \cdot \frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}} - 4 \cot (x))$

Этап 2.2.2.3

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 (\frac{y}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 4 \cot (x))$

Этап 2.2.2.4

Переведем $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ в $\cot (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 (\frac{y}{1} \cot (x) - 4 \cot (x))$

Этап 2.2.2.5

Разделим $y$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 (y \cot (x) - 4 \cot (x))$

Этап 2.2.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Вынесем множитель $\cot (x)$ из $y \cot (x) - 4 \cot (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.1

Вынесем множитель $\cot (x)$ из $y \cot (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 (\cot (x) y - 4 \cot (x))$

Этап 2.2.3.1.2

Вынесем множитель $\cot (x)$ из $- 4 \cot (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 (\cot (x) y + \cot (x) \cdot - 4)$

Этап 2.2.3.1.3

Вынесем множитель $\cot (x)$ из $\cot (x) y + \cot (x) \cdot - 4$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 (\cot (x) (y - 4))$

Этап 2.2.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$\frac{d y}{d x} = 2 \cot (x) (y - 4)$

Этап 2.3

Умножим обе части на $\frac{1}{y - 4}$ .

$\frac{1}{y - 4} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y - 4} (2 \cot (x) (y - 4))$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{y - 4} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{y - 4} (\cot (x) (y - 4))$

Этап 2.4.2

Объединим $2$ и $\frac{1}{y - 4}$ .

$\frac{1}{y - 4} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y - 4} (\cot (x) (y - 4))$

Этап 2.4.3

Сократим общий множитель $y - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Вынесем множитель $y - 4$ из $\cot (x) (y - 4)$ .

$\frac{1}{y - 4} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y - 4} ((y - 4) \cot (x))$

Этап 2.4.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y - 4} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y - 4} ((y - 4) \cot (x))$

Этап 2.4.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y - 4} \frac{d y}{d x} = 2 \cot (x)$

Этап 2.5

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y - 4} d y = 2 \cot (x) d x$

Этап 3

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y - 4} d y = \int 2 \cot (x) d x$

Этап 3.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Пусть $u = y - 4$ . Тогда $d u = d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Пусть $u = y - 4$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Дифференцируем $y - 4$ .

$\frac{d}{d y} [y - 4]$

Этап 3.2.1.1.2

По правилу суммы производная $y - 4$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 4]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 4]$

Этап 3.2.1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 4]$

Этап 3.2.1.1.4

Поскольку $- 4$ является константой относительно $y$ , производная $- 4$ относительно $y$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 3.2.1.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 3.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int 2 \cot (x) d x$

Этап 3.2.2

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int 2 \cot (x) d x$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y - 4$ .

$\ln (| y - 4 |) + C_{1} = \int 2 \cot (x) d x$

Этап 3.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y - 4 |) + C_{1} = 2 \int \cot (x) d x$

Этап 3.3.2

Интеграл $\cot (x)$ по $x$ имеет вид $\ln (| \sin (x) |)$ .

$\ln (| y - 4 |) + C_{1} = 2 (\ln (| \sin (x) |) + C_{2})$

Этап 3.3.3

Упростим.

$\ln (| y - 4 |) + C_{1} = 2 \ln (| \sin (x) |) + C_{2}$

Этап 3.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| y - 4 |) = 2 \ln (| \sin (x) |) + C$

Этап 4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| y - 4 |) - 2 \ln (| \sin (x) |) = C$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим $\ln (| y - 4 |) - 2 \ln (| \sin (x) |)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Упростим $- 2 \ln (| \sin (x) |)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\ln (| y - 4 |) - \ln ({| \sin (x) |}^{2}) = C$

Этап 4.2.1.1.2

Уберем знак модуля в ${| \sin (x) |}^{2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$\ln (| y - 4 |) - \ln (\sin^{2} (x)) = C$

Этап 4.2.1.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y - 4 |}{\sin^{2} (x)}) = C$

Этап 4.2.1.3

Умножим на $1$ .

$\ln (\frac{| y - 4 |}{\sin^{2} (x) \cdot 1}) = C$

Этап 4.2.1.4

Разделим дроби.

$\ln (\frac{| y - 4 |}{1} \cdot \frac{1}{\sin^{2} (x)}) = C$

Этап 4.2.1.5

Переведем $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ в $\csc^{2} (x)$ .

$\ln (\frac{| y - 4 |}{1} \csc^{2} (x)) = C$

Этап 4.2.1.6

Разделим $| y - 4 |$ на $1$ .

$\ln (| y - 4 | \csc^{2} (x)) = C$

Этап 4.3

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| y - 4 | \csc^{2} (x))} = e^{C}$

Этап 4.4

Перепишем $\ln (| y - 4 | \csc^{2} (x)) = C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | y - 4 | \csc^{2} (x)$

Этап 4.5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Перепишем уравнение в виде $| y - 4 | \csc^{2} (x) = e^{C}$ .

$| y - 4 | \csc^{2} (x) = e^{C}$

Этап 4.5.2

Разделим каждый член $| y - 4 | \csc^{2} (x) = e^{C}$ на $\csc^{2} (x)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Разделим каждый член $| y - 4 | \csc^{2} (x) = e^{C}$ на $\csc^{2} (x)$ .

$\frac{| y - 4 | \csc^{2} (x)}{\csc^{2} (x)} = \frac{e^{C}}{\csc^{2} (x)}$

Этап 4.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.2.1

Сократим общий множитель $\csc^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{| y - 4 | \csc^{2} (x)}{\csc^{2} (x)} = \frac{e^{C}}{\csc^{2} (x)}$

Этап 4.5.2.2.1.2

Разделим $| y - 4 |$ на $1$ .

$| y - 4 | = \frac{e^{C}}{\csc^{2} (x)}$

Этап 4.5.3

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$y - 4 = \pm \frac{e^{C}}{\csc^{2} (x)}$

Этап 4.5.4

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$y = \pm \frac{e^{C}}{\csc^{2} (x)} + 4$

Этап 5

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \pm \frac{C}{\csc^{2} (x)} + 4$

Этап 5.2

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = C \frac{1}{\csc^{2} (x)} + 4$