Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d t} + y = t$

Этап 1

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (t) d t}$ , где $P (t) = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int d t}$

Этап 1.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$e^{t + C}$

Этап 1.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{t}$

Этап 2

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $e^{t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член на $e^{t}$ .

$e^{t} \frac{d y}{d t} + e^{t} y = e^{t} t$

Этап 2.2

Изменим порядок множителей в $e^{t} \frac{d y}{d t} + e^{t} y = e^{t} t$ .

$e^{t} \frac{d y}{d t} + y e^{t} = t e^{t}$

Этап 3

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d t} [e^{t} y] = t e^{t}$

Этап 4

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d t} [e^{t} y] d t = \int t e^{t} d t$

Этап 5

Проинтегрируем левую часть.

$e^{t} y = \int t e^{t} d t$

Этап 6

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = t$ и $d v = e^{t}$ .

$e^{t} y = t e^{t} - \int e^{t} d t$

Этап 6.2

Интеграл $e^{t}$ по $t$ имеет вид $e^{t}$ .

$e^{t} y = t e^{t} - (e^{t} + C)$

Этап 6.3

Упростим.

$e^{t} y = t e^{t} - e^{t} + C$

Этап 7

Разделим каждый член $e^{t} y = t e^{t} - e^{t} + C$ на $e^{t}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим каждый член $e^{t} y = t e^{t} - e^{t} + C$ на $e^{t}$ .

$\frac{e^{t} y}{e^{t}} = \frac{t e^{t}}{e^{t}} + \frac{- e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Этап 7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель $e^{t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{t} y}{e^{t}} = \frac{t e^{t}}{e^{t}} + \frac{- e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Этап 7.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{t e^{t}}{e^{t}} + \frac{- e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Этап 7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1

Сократим общий множитель $e^{t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{t e^{t}}{e^{t}} + \frac{- e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Этап 7.3.1.1.2

Разделим $t$ на $1$ .

$y = t + \frac{- e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Этап 7.3.1.2

Сократим общий множитель $e^{t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y = t + \frac{- e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Этап 7.3.1.2.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

$y = t - 1 + \frac{C}{e^{t}}$