Математический анализ Примеры

$(1 + x^{2}) d y + y d x = 0$

Этап 1

Вычтем $y d x$ из обеих частей уравнения.

$(1 + x^{2}) d y = - y d x$

Этап 2

Умножим обе части на $\frac{1}{(1 + x^{2}) y}$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) y} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (- y) d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель $1 + x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $1 + x^{2}$ из $(1 + x^{2}) y$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) (y)} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (- y) d x$

Этап 3.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{(1 + x^{2}) y} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (- y) d x$

Этап 3.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (- y) d x$

Этап 3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{(1 + x^{2}) y} y d x$

Этап 3.3

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{(1 + x^{2}) y}$ в числитель.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{(1 + x^{2}) y} y d x$

Этап 3.3.2

Вынесем множитель $y$ из $(1 + x^{2}) y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (1 + x^{2})} y d x$

Этап 3.3.3

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (1 + x^{2})} y d x$

Этап 3.3.4

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{1 + x^{2}} d x$

Этап 3.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Этап 4

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Этап 4.2

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Этап 4.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Этап 4.3.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Этап 4.3.3

Интеграл $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ по $x$ имеет вид $\arctan (x) + C_{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\arctan (x) + C_{2})$

Этап 4.3.4

Упростим.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \arctan (x) + C_{2}$

Этап 4.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| y |) = - \arctan (x) + C$

Этап 5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- \arctan (x) + C}$

Этап 5.2

Перепишем $\ln (| y |) = - \arctan (x) + C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{- \arctan (x) + C} = | y |$

Этап 5.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Перепишем уравнение в виде $| y | = e^{- \arctan (x) + C}$ .

$| y | = e^{- \arctan (x) + C}$

Этап 5.3.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- \arctan (x) + C}$

Этап 6

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем $e^{- \arctan (x) + C}$ в виде $e^{- \arctan (x)} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- \arctan (x)} e^{C}$

Этап 6.2

Изменим порядок $e^{- \arctan (x)}$ и $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- \arctan (x)}$

Этап 6.3

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = C e^{- \arctan (x)}$