Математический анализ Примеры

$y (u^{2} + 1) d u + (u^{3} - 3 u) d y = 0$

Этап 1

Вычтем $y (u^{2} + 1) d u$ из обеих частей уравнения.

$(u^{3} - 3 u) d y = - y (u^{2} + 1) d u$

Этап 2

Умножим обе части на $\frac{1}{(u^{3} - 3 u) y}$ .

$\frac{1}{(u^{3} - 3 u) y} (u^{3} - 3 u) d y = \frac{1}{(u^{3} - 3 u) y} (- y (u^{2} + 1)) d u$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель $u^{3} - 3 u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $u^{3} - 3 u$ из $(u^{3} - 3 u) y$ .

$\frac{1}{(u^{3} - 3 u) (y)} (u^{3} - 3 u) d y = \frac{1}{(u^{3} - 3 u) y} (- y (u^{2} + 1)) d u$

Этап 3.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{(u^{3} - 3 u) y} (u^{3} - 3 u) d y = \frac{1}{(u^{3} - 3 u) y} (- y (u^{2} + 1)) d u$

Этап 3.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(u^{3} - 3 u) y} (- y (u^{2} + 1)) d u$

Этап 3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{(u^{3} - 3 u) y} (y (u^{2} + 1)) d u$

Этап 3.3

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{(u^{3} - 3 u) y}$ в числитель.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{(u^{3} - 3 u) y} (y (u^{2} + 1)) d u$

Этап 3.3.2

Вынесем множитель $y$ из $(u^{3} - 3 u) y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (u^{3} - 3 u)} (y (u^{2} + 1)) d u$

Этап 3.3.3

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (u^{3} - 3 u)} (y (u^{2} + 1)) d u$

Этап 3.3.4

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{u^{3} - 3 u} (u^{2} + 1) d u$

Этап 3.4

Вынесем множитель $u$ из $u^{3} - 3 u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем множитель $u$ из $u^{3}$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{u \cdot u^{2} - 3 u} (u^{2} + 1) d u$

Этап 3.4.2

Вынесем множитель $u$ из $- 3 u$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{u \cdot u^{2} + u \cdot - 3} (u^{2} + 1) d u$

Этап 3.4.3

Вынесем множитель $u$ из $u \cdot u^{2} + u \cdot - 3$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{u (u^{2} - 3)} (u^{2} + 1) d u$

Этап 3.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{u (u^{2} - 3)} (u^{2} + 1) d u$

Этап 3.6

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{y} d y = (- \frac{1}{u (u^{2} - 3)} u^{2} - \frac{1}{u (u^{2} - 3)} \cdot 1) d u$

Этап 3.7

Сократим общий множитель $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{u (u^{2} - 3)}$ в числитель.

$\frac{1}{y} d y = (\frac{- 1}{u (u^{2} - 3)} u^{2} - \frac{1}{u (u^{2} - 3)} \cdot 1) d u$

Этап 3.7.2

Вынесем множитель $u$ из $u^{2}$ .

$\frac{1}{y} d y = (\frac{- 1}{u (u^{2} - 3)} (u \cdot u) - \frac{1}{u (u^{2} - 3)} \cdot 1) d u$

Этап 3.7.3

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y} d y = (\frac{- 1}{u (u^{2} - 3)} (u \cdot u) - \frac{1}{u (u^{2} - 3)} \cdot 1) d u$

Этап 3.7.4

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y} d y = (\frac{- 1}{u^{2} - 3} u - \frac{1}{u (u^{2} - 3)} \cdot 1) d u$

Этап 3.8

Объединим $\frac{- 1}{u^{2} - 3}$ и $u$ .

$\frac{1}{y} d y = (\frac{- u}{u^{2} - 3} - \frac{1}{u (u^{2} - 3)} \cdot 1) d u$

Этап 3.9

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{y} d y = (\frac{- u}{u^{2} - 3} - \frac{1}{u (u^{2} - 3)}) d u$

Этап 3.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{y} d y = (- \frac{u}{u^{2} - 3} - \frac{1}{u (u^{2} - 3)}) d u$

Этап 3.11

Чтобы записать $- \frac{u}{u^{2} - 3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{u}{u}$ .

$\frac{1}{y} d y = (- \frac{u}{u^{2} - 3} \cdot \frac{u}{u} - \frac{1}{u (u^{2} - 3)}) d u$

Этап 3.12

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(u^{2} - 3) u$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.1

Умножим $\frac{u}{u^{2} - 3}$ на $\frac{u}{u}$ .

$\frac{1}{y} d y = (- \frac{u \cdot u}{(u^{2} - 3) u} - \frac{1}{u (u^{2} - 3)}) d u$

Этап 3.12.2

Изменим порядок множителей в $(u^{2} - 3) u$ .

$\frac{1}{y} d y = (- \frac{u \cdot u}{u (u^{2} - 3)} - \frac{1}{u (u^{2} - 3)}) d u$

Этап 3.13

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- u \cdot u - 1}{u (u^{2} - 3)} d u$

Этап 3.14

Умножим $u$ на $u$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.14.1

Перенесем $u$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- (u \cdot u) - 1}{u (u^{2} - 3)} d u$

Этап 3.14.2

Умножим $u$ на $u$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- u^{2} - 1}{u (u^{2} - 3)} d u$

Этап 3.15

Вынесем множитель $- 1$ из $- u^{2}$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- (u^{2}) - 1}{u (u^{2} - 3)} d u$

Этап 3.16

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- (u^{2}) - 1 (1)}{u (u^{2} - 3)} d u$

Этап 3.17

Вынесем множитель $- 1$ из $- (u^{2}) - 1 (1)$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- (u^{2} + 1)}{u (u^{2} - 3)} d u$

Этап 3.18

Перепишем $- (u^{2} + 1)$ в виде $- 1 (u^{2} + 1)$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1 (u^{2} + 1)}{u (u^{2} - 3)} d u$

Этап 3.19

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{u^{2} + 1}{u (u^{2} - 3)} d u$

Этап 4

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{u^{2} + 1}{u (u^{2} - 3)} d u$

Этап 4.2

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{u^{2} + 1}{u (u^{2} - 3)} d u$

Этап 4.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{u^{2} + 1}{u (u^{2} - 3)} d u$

Этап 4.3.2

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку у множителя 2-й порядок, в числителе должно быть $2$ членов. Количество необходимых членов в числителе всегда равно порядку множителя в знаменателе.

$\frac{A}{u} + \frac{B u + C}{u^{2} - 3}$

Этап 4.3.2.1.2

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $u (u^{2} - 3)$ .

$\frac{(u^{2} + 1) (u (u^{2} - 3))}{u (u^{2} - 3)} = \frac{A (u (u^{2} - 3))}{u} + \frac{(B u + C) (u (u^{2} - 3))}{u^{2} - 3}$

Этап 4.3.2.1.3

Сократим общий множитель $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(u^{2} + 1) (u (u^{2} - 3))}{u (u^{2} - 3)} = \frac{A (u (u^{2} - 3))}{u} + \frac{(B u + C) (u (u^{2} - 3))}{u^{2} - 3}$

Этап 4.3.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(u^{2} + 1) (u^{2} - 3)}{u^{2} - 3} = \frac{A (u (u^{2} - 3))}{u} + \frac{(B u + C) (u (u^{2} - 3))}{u^{2} - 3}$

Этап 4.3.2.1.4

Сократим общий множитель $u^{2} - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(u^{2} + 1) (u^{2} - 3)}{u^{2} - 3} = \frac{A (u (u^{2} - 3))}{u} + \frac{(B u + C) (u (u^{2} - 3))}{u^{2} - 3}$

Этап 4.3.2.1.4.2

Разделим $u^{2} + 1$ на $1$ .

$u^{2} + 1 = \frac{A (u (u^{2} - 3))}{u} + \frac{(B u + C) (u (u^{2} - 3))}{u^{2} - 3}$

Этап 4.3.2.1.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.5.1

Сократим общий множитель $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.5.1.1

Сократим общий множитель.

$u^{2} + 1 = \frac{A (u (u^{2} - 3))}{u} + \frac{(B u + C) (u (u^{2} - 3))}{u^{2} - 3}$

Этап 4.3.2.1.5.1.2

Разделим $A (u^{2} - 3)$ на $1$ .

$u^{2} + 1 = A (u^{2} - 3) + \frac{(B u + C) (u (u^{2} - 3))}{u^{2} - 3}$

Этап 4.3.2.1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$u^{2} + 1 = A u^{2} + A \cdot - 3 + \frac{(B u + C) (u (u^{2} - 3))}{u^{2} - 3}$

Этап 4.3.2.1.5.3

Перенесем $- 3$ влево от $A$ .

$u^{2} + 1 = A u^{2} - 3 \cdot A + \frac{(B u + C) (u (u^{2} - 3))}{u^{2} - 3}$

Этап 4.3.2.1.5.4

Сократим общий множитель $u^{2} - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$u^{2} + 1 = A u^{2} - 3 A + \frac{(B u + C) (u (u^{2} - 3))}{u^{2} - 3}$

Этап 4.3.2.1.5.4.2

Разделим $(B u + C) (u)$ на $1$ .

$u^{2} + 1 = A u^{2} - 3 A + (B u + C) (u)$

Этап 4.3.2.1.5.5

Применим свойство дистрибутивности.

$u^{2} + 1 = A u^{2} - 3 A + B u \cdot u + C u$

Этап 4.3.2.1.5.6

Умножим $u$ на $u$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.5.6.1

Перенесем $u$ .

$u^{2} + 1 = A u^{2} - 3 A + B (u \cdot u) + C u$

Этап 4.3.2.1.5.6.2

Умножим $u$ на $u$ .

$u^{2} + 1 = A u^{2} - 3 A + B u^{2} + C u$

Этап 4.3.2.1.6

Перенесем $- 3 A$ .

$u^{2} + 1 = A u^{2} + B u^{2} + C u - 3 A$

Этап 4.3.2.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $u^{2}$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = A + B$

Этап 4.3.2.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $u$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = C$

Этап 4.3.2.2.3

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $u$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = - 3 A$

Этап 4.3.2.2.4

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$1 = A + B$

$0 = C$

$1 = - 3 A$

$1 = A + B$

$0 = C$

$1 = - 3 A$

Этап 4.3.2.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.1

Перепишем уравнение в виде $C = 0$ .

$C = 0$

$1 = A + B$

$1 = - 3 A$

Этап 4.3.2.3.2

Заменим все вхождения $C$ на $0$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.2.1

Перепишем уравнение в виде $- 3 A = 1$ .

$- 3 A = 1$

$C = 0$

$1 = A + B$

Этап 4.3.2.3.2.2

Разделим каждый член $- 3 A = 1$ на $- 3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.2.2.1

Разделим каждый член $- 3 A = 1$ на $- 3$ .

$\frac{- 3 A}{- 3} = \frac{1}{- 3}$

$C = 0$

$1 = A + B$

Этап 4.3.2.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3 A}{- 3} = \frac{1}{- 3}$

$C = 0$

$1 = A + B$

Этап 4.3.2.3.2.2.2.1.2

Разделим $A$ на $1$ .

$A = \frac{1}{- 3}$

$C = 0$

$1 = A + B$

$A = \frac{1}{- 3}$

$C = 0$

$1 = A + B$

$A = \frac{1}{- 3}$

$C = 0$

$1 = A + B$

Этап 4.3.2.3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$1 = A + B$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$1 = A + B$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$1 = A + B$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$1 = A + B$

Этап 4.3.2.3.3

Заменим все вхождения $A$ на $- \frac{1}{3}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.3.1

Заменим все вхождения $A$ в $1 = A + B$ на $- \frac{1}{3}$ .

$1 = (- \frac{1}{3}) + B$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

Этап 4.3.2.3.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.3.2.1

Избавимся от скобок.

$1 = - \frac{1}{3} + B$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$1 = - \frac{1}{3} + B$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$1 = - \frac{1}{3} + B$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

Этап 4.3.2.3.4

Решим относительно $B$ в $1 = - \frac{1}{3} + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.4.1

Перепишем уравнение в виде $- \frac{1}{3} + B = 1$ .

$- \frac{1}{3} + B = 1$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

Этап 4.3.2.3.4.2

Перенесем все члены без $B$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.4.2.1

Добавим $\frac{1}{3}$ к обеим частям уравнения.

$B = 1 + \frac{1}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

Этап 4.3.2.3.4.2.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$B = \frac{3}{3} + \frac{1}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

Этап 4.3.2.3.4.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$B = \frac{3 + 1}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

Этап 4.3.2.3.4.2.4

Добавим $3$ и $1$ .

$B = \frac{4}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$B = \frac{4}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$B = \frac{4}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

Этап 4.3.2.3.5

Решим систему уравнений.

$B = \frac{4}{3} A = - \frac{1}{3} C = 0$

Этап 4.3.2.3.6

Перечислим все решения.

$B = \frac{4}{3}, A = - \frac{1}{3}, C = 0$

Этап 4.3.2.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{u} + \frac{B u + C}{u^{2} - 3}$ значениями, найденными для $A$ , $B$ и $C$ .

$- \frac{\frac{1}{3}}{u} + \frac{\frac{4}{3 u} + 0}{u^{2} - 3}$

Этап 4.3.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.5.1

Избавимся от скобок.

$\frac{- \frac{1}{3}}{u} + \frac{(\frac{4}{3}) u + 0}{u^{2} - 3}$

Этап 4.3.2.5.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.5.2.1

Объединим $\frac{4}{3}$ и $u$ .

$\frac{- \frac{1}{3}}{u} + \frac{\frac{4 u}{3} + 0}{u^{2} - 3}$

Этап 4.3.2.5.2.2

Добавим $\frac{4 u}{3}$ и $0$ .

$\frac{- \frac{1}{3}}{u} + \frac{\frac{4 u}{3}}{u^{2} - 3}$

Этап 4.3.2.5.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{- \frac{1}{3}}{u} + \frac{4 u}{3} \cdot \frac{1}{u^{2} - 3}$

Этап 4.3.2.5.4

Умножим $\frac{4 u}{3}$ на $\frac{1}{u^{2} - 3}$ .

$\frac{- \frac{1}{3}}{u} + \frac{4 u}{3 (u^{2} - 3)}$

Этап 4.3.2.5.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u} + \frac{4 u}{3 (u^{2} - 3)}$

Этап 4.3.2.5.6

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{u \cdot 3} + \frac{4 u}{3 (u^{2} - 3)}$

Этап 4.3.2.5.7

Перенесем $3$ влево от $u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int - \frac{1}{3 u} + \frac{4 u}{3 (u^{2} - 3)} d u$

Этап 4.3.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\int - \frac{1}{3 u} d u + \int \frac{4 u}{3 (u^{2} - 3)} d u)$

Этап 4.3.4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \int \frac{1}{3 u} d u + \int \frac{4 u}{3 (u^{2} - 3)} d u)$

Этап 4.3.5

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u) + \int \frac{4 u}{3 (u^{2} - 3)} d u)$

Этап 4.3.6

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{2}) + \int \frac{4 u}{3 (u^{2} - 3)} d u)$

Этап 4.3.7

Поскольку $\frac{4}{3}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{4}{3}$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{2}) + \frac{4}{3} \int \frac{u}{u^{2} - 3} d u)$

Этап 4.3.8

Пусть $u_{1} = u^{2} - 3$ . Тогда $d u_{1} = 2 u d u$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{1} = u d u$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.8.1

Пусть $u_{1} = u^{2} - 3$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d u}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.8.1.1

Дифференцируем $u^{2} - 3$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2} - 3]$

Этап 4.3.8.1.2

По правилу суммы производная $u^{2} - 3$ по $u$ имеет вид $\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [- 3]$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [- 3]$

Этап 4.3.8.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 u + \frac{d}{d u} [- 3]$

Этап 4.3.8.1.4

Поскольку $- 3$ является константой относительно $u$ , производная $- 3$ относительно $u$ равна $0$ .

$2 u + 0$

Этап 4.3.8.1.5

Добавим $2 u$ и $0$ .

$2 u$

Этап 4.3.8.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{2}) + \frac{4}{3} \int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1})$

Этап 4.3.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.9.1

Умножим $\frac{1}{u_{1}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{2}) + \frac{4}{3} \int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1})$

Этап 4.3.9.2

Перенесем $2$ влево от $u_{1}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{2}) + \frac{4}{3} \int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1})$

Этап 4.3.10

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{2}) + \frac{4}{3} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1}))$

Этап 4.3.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.11.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{4}{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{2}) + \frac{4}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1})$

Этап 4.3.11.2

Умножим $2$ на $3$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{2}) + \frac{4}{6} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1})$

Этап 4.3.11.3

Сократим общий множитель $4$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.11.3.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{2}) + \frac{2 (2)}{6} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1})$

Этап 4.3.11.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.11.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{2}) + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1})$

Этап 4.3.11.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{2}) + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1})$

Этап 4.3.11.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{2}) + \frac{2}{3} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1})$

Этап 4.3.12

Интеграл $\frac{1}{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{2}) + \frac{2}{3} (\ln (| u_{1} |) + C_{3}))$

Этап 4.3.13

Упростим.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{1}{3} \ln (| u |) + \frac{2}{3} \ln (| u_{1} |)) + C_{4}$

Этап 4.3.14

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $u^{2} - 3$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{1}{3} \ln (| u |) + \frac{2}{3} \ln (| u^{2} - 3 |)) + C_{4}$

Этап 4.3.15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.15.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.15.1.1

Объединим $\ln (| u |)$ и $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{\ln (| u |)}{3} + \frac{2}{3} \ln (| u^{2} - 3 |)) + C_{4}$

Этап 4.3.15.1.2

Объединим $\frac{2}{3}$ и $\ln (| u^{2} - 3 |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{\ln (| u |)}{3} + \frac{2 \ln (| u^{2} - 3 |)}{3}) + C_{4}$

Этап 4.3.15.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{- \ln (| u |) + 2 \ln (| u^{2} - 3 |)}{3} + C_{4}$

Этап 4.3.15.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- \ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{- (\ln (| u |)) + 2 \ln (| u^{2} - 3 |)}{3} + C_{4}$

Этап 4.3.15.4

Вынесем множитель $- 1$ из $2 \ln (| u^{2} - 3 |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{- (\ln (| u |)) - (- 2 \ln (| u^{2} - 3 |))}{3} + C_{4}$

Этап 4.3.15.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (\ln (| u |)) - (- 2 \ln (| u^{2} - 3 |))$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{- (\ln (| u |) - 2 \ln (| u^{2} - 3 |))}{3} + C_{4}$

Этап 4.3.15.6

Перепишем $- (\ln (| u |) - 2 \ln (| u^{2} - 3 |))$ в виде $- 1 (\ln (| u |) - 2 \ln (| u^{2} - 3 |))$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{- 1 (\ln (| u |) - 2 \ln (| u^{2} - 3 |))}{3} + C_{4}$

Этап 4.3.15.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\ln (| y |) + C_{1} = - - \frac{\ln (| u |) - 2 \ln (| u^{2} - 3 |)}{3} + C_{4}$

Этап 4.3.15.8

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 1 \frac{\ln (| u |) - 2 \ln (| u^{2} - 3 |)}{3} + C_{4}$

Этап 4.3.15.9

Умножим $\frac{\ln (| u |) - 2 \ln (| u^{2} - 3 |)}{3}$ на $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{\ln (| u |) - 2 \ln (| u^{2} - 3 |)}{3} + C_{4}$

Этап 4.3.16

Изменим порядок членов.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} (\ln (| u |) - 2 \ln (| u^{2} - 3 |)) + C_{4}$

Этап 4.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{3} (\ln (| u |) - 2 \ln (| u^{2} - 3 |)) + C$

Этап 5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (| y |) = \frac{1}{3} \ln (| u |) + \frac{1}{3} (- 2 \ln (| u^{2} - 3 |)) + C$

Этап 5.1.1.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) = \frac{\ln (| u |)}{3} + \frac{1}{3} (- 2 \ln (| u^{2} - 3 |)) + C$

Этап 5.1.1.3

Умножим $\frac{1}{3} (- 2 \ln (| u^{2} - 3 |))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.3.1

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| y |) = \frac{\ln (| u |)}{3} + \frac{- 2}{3} \ln (| u^{2} - 3 |) + C$

Этап 5.1.1.3.2

Объединим $\frac{- 2}{3}$ и $\ln (| u^{2} - 3 |)$ .

$\ln (| y |) = \frac{\ln (| u |)}{3} + \frac{- 2 \ln (| u^{2} - 3 |)}{3} + C$

Этап 5.1.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\ln (| y |) = \frac{\ln (| u |)}{3} - \frac{2 \ln (| u^{2} - 3 |)}{3} + C$

Этап 5.2

Каждый член в $\ln (| y |) = \frac{\ln (| u |)}{3} - \frac{2 \ln (| u^{2} - 3 |)}{3} + C$ умножим на $3$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим каждый член $\ln (| y |) = \frac{\ln (| u |)}{3} - \frac{2 \ln (| u^{2} - 3 |)}{3} + C$ на $3$ .

$\ln (| y |) \cdot 3 = \frac{\ln (| u |)}{3} \cdot 3 - \frac{2 \ln (| u^{2} - 3 |)}{3} \cdot 3 + C \cdot 3$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Перенесем $3$ влево от $\ln (| y |)$ .

$3 \ln (| y |) = \frac{\ln (| u |)}{3} \cdot 3 - \frac{2 \ln (| u^{2} - 3 |)}{3} \cdot 3 + C \cdot 3$

Этап 5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$3 \ln (| y |) = \frac{\ln (| u |)}{3} \cdot 3 - \frac{2 \ln (| u^{2} - 3 |)}{3} \cdot 3 + C \cdot 3$

Этап 5.2.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$3 \ln (| y |) = \ln (| u |) - \frac{2 \ln (| u^{2} - 3 |)}{3} \cdot 3 + C \cdot 3$

Этап 5.2.3.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2 \ln (| u^{2} - 3 |)}{3}$ в числитель.

$3 \ln (| y |) = \ln (| u |) + \frac{- 2 \ln (| u^{2} - 3 |)}{3} \cdot 3 + C \cdot 3$

Этап 5.2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$3 \ln (| y |) = \ln (| u |) + \frac{- 2 \ln (| u^{2} - 3 |)}{3} \cdot 3 + C \cdot 3$

Этап 5.2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$3 \ln (| y |) = \ln (| u |) - 2 \ln (| u^{2} - 3 |) + C \cdot 3$

Этап 5.2.3.1.3

Перенесем $3$ влево от $C$ .

$3 \ln (| y |) = \ln (| u |) - 2 \ln (| u^{2} - 3 |) + 3 C$

Этап 5.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Упростим $3 \ln (| y |)$ путем переноса $3$ под логарифм.

$\ln ({| y |}^{3}) = \ln (| u |) - 2 \ln (| u^{2} - 3 |) + 3 C$

Этап 5.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Упростим $\ln (| u |) - 2 \ln (| u^{2} - 3 |) + 3 C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1.1

Упростим $- 2 \ln (| u^{2} - 3 |)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\ln ({| y |}^{3}) = \ln (| u |) - \ln ({| u^{2} - 3 |}^{2}) + 3 C$

Этап 5.4.1.1.2

Уберем знак модуля в ${| u^{2} - 3 |}^{2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$\ln ({| y |}^{3}) = \ln (| u |) - \ln ({(u^{2} - 3)}^{2}) + 3 C$

Этап 5.4.1.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln ({| y |}^{3}) = \ln (\frac{| u |}{{(u^{2} - 3)}^{2}}) + 3 C$

Этап 5.5

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln ({| y |}^{3}) - \ln (\frac{| u |}{{(u^{2} - 3)}^{2}}) = 3 C$

Этап 5.6

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{{| y |}^{3}}{\frac{| u |}{{(u^{2} - 3)}^{2}}}) = 3 C$

Этап 5.7

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\ln ({| y |}^{3} (\frac{{(u^{2} - 3)}^{2}}{| u |})) = 3 C$

Этап 5.8

Объединим ${| y |}^{3}$ и $\frac{{(u^{2} - 3)}^{2}}{| u |}$ .

$\ln (\frac{{| y |}^{3} {(u^{2} - 3)}^{2}}{| u |}) = 3 C$

Этап 5.9

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (\frac{{| y |}^{3} {(u^{2} - 3)}^{2}}{| u |})} = e^{3 C}$

Этап 5.10

Перепишем $\ln (\frac{{| y |}^{3} {(u^{2} - 3)}^{2}}{| u |}) = 3 C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{3 C} = \frac{{| y |}^{3} {(u^{2} - 3)}^{2}}{| u |}$

Этап 5.11

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.11.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{{| y |}^{3} {(u^{2} - 3)}^{2}}{| u |} = e^{3 C}$ .

$\frac{{| y |}^{3} {(u^{2} - 3)}^{2}}{| u |} = e^{3 C}$

Этап 5.11.2

Умножим обе части на $| u |$ .

$\frac{{| y |}^{3} {(u^{2} - 3)}^{2}}{| u |} | u | = e^{3 C} | u |$

Этап 5.11.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.11.3.1

Сократим общий множитель $| u |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.11.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{{| y |}^{3} {(u^{2} - 3)}^{2}}{| u |} | u | = e^{3 C} | u |$

Этап 5.11.3.1.2

Перепишем это выражение.

${| y |}^{3} {(u^{2} - 3)}^{2} = e^{3 C} | u |$

Этап 5.11.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.11.4.1

Разделим каждый член ${| y |}^{3} {(u^{2} - 3)}^{2} = e^{3 C} | u |$ на ${(u^{2} - 3)}^{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.11.4.1.1

Разделим каждый член ${| y |}^{3} {(u^{2} - 3)}^{2} = e^{3 C} | u |$ на ${(u^{2} - 3)}^{2}$ .

$\frac{{| y |}^{3} {(u^{2} - 3)}^{2}}{{(u^{2} - 3)}^{2}} = \frac{e^{3 C} | u |}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

Этап 5.11.4.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.11.4.1.2.1

Сократим общий множитель ${(u^{2} - 3)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.11.4.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{{| y |}^{3} {(u^{2} - 3)}^{2}}{{(u^{2} - 3)}^{2}} = \frac{e^{3 C} | u |}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

Этап 5.11.4.1.2.1.2

Разделим ${| y |}^{3}$ на $1$ .

${| y |}^{3} = \frac{e^{3 C} | u |}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

Этап 5.11.4.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$| y | = \sqrt[3]{\frac{e^{3 C} | u |}{{(u^{2} - 3)}^{2}}}$

Этап 5.11.4.3

Упростим $\sqrt[3]{\frac{e^{3 C} | u |}{{(u^{2} - 3)}^{2}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.11.4.3.1

Перепишем $\sqrt[3]{\frac{e^{3 C} | u |}{{(u^{2} - 3)}^{2}}}$ в виде $\frac{\sqrt[3]{e^{3 C} | u |}}{\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{3 C} | u |}}{\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}$

Этап 5.11.4.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.11.4.3.2.1

Перепишем $e^{3 C}$ в виде ${(e^{C})}^{3}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{{(e^{C})}^{3} | u |}}{\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}$

Этап 5.11.4.3.2.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |}}{\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}$

Этап 5.11.4.3.3

Умножим $\frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |}}{\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{2}}$ .

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |}}{\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{2}}$

Этап 5.11.4.3.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.11.4.3.4.1

Умножим $\frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |}}{\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{2}}$ .

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} {\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{2}}{\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}} {\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{2}}$

Этап 5.11.4.3.4.2

Возведем $\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}$ в степень $1$ .

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} {\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{1} {\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{2}}$

Этап 5.11.4.3.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} {\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{1 + 2}}$

Этап 5.11.4.3.4.4

Добавим $1$ и $2$ .

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} {\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{3}}$

Этап 5.11.4.3.4.5

Перепишем ${\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{3}$ в виде ${(u^{2} - 3)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.11.4.3.4.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}$ в виде ${(u^{2} - 3)}^{\frac{2}{3}}$ .

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} {\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{2}}{{({(u^{2} - 3)}^{\frac{2}{3}})}^{3}}$

Этап 5.11.4.3.4.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} {\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{2}}{{(u^{2} - 3)}^{\frac{2}{3} \cdot 3}}$

Этап 5.11.4.3.4.5.3

Объединим $\frac{2}{3}$ и $3$ .

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} {\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{2}}{{(u^{2} - 3)}^{\frac{2 \cdot 3}{3}}}$

Этап 5.11.4.3.4.5.4

Умножим $2$ на $3$ .

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} {\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{2}}{{(u^{2} - 3)}^{\frac{6}{3}}}$

Этап 5.11.4.3.4.5.5

Сократим общий множитель $6$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.11.4.3.4.5.5.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} {\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{2}}{{(u^{2} - 3)}^{\frac{3 \cdot 2}{3}}}$

Этап 5.11.4.3.4.5.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.11.4.3.4.5.5.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} {\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{2}}{{(u^{2} - 3)}^{\frac{3 \cdot 2}{3 (1)}}}$

Этап 5.11.4.3.4.5.5.2.2

Сократим общий множитель.

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} {\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{2}}{{(u^{2} - 3)}^{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1}}}$

Этап 5.11.4.3.4.5.5.2.3

Перепишем это выражение.

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} {\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{2}}{{(u^{2} - 3)}^{\frac{2}{1}}}$

Этап 5.11.4.3.4.5.5.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} {\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{2}}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

Этап 5.11.4.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.11.4.3.5.1

Перепишем ${\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{2}$ в виде $\sqrt[3]{{({(u^{2} - 3)}^{2})}^{2}}$ .

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} \sqrt[3]{{({(u^{2} - 3)}^{2})}^{2}}}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

Этап 5.11.4.3.5.2

Перемножим экспоненты в ${({(u^{2} - 3)}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.11.4.3.5.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} \sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2 \cdot 2}}}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

Этап 5.11.4.3.5.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} \sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{4}}}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

Этап 5.11.4.3.5.3

Воспользуемся бином Ньютона.

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} \sqrt[3]{{(u^{2})}^{4} + 4 {(u^{2})}^{3} \cdot - 3 + 6 {(u^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 u^{2} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}}}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

Этап 5.11.4.3.5.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.11.4.3.5.4.1

Перемножим экспоненты в ${(u^{2})}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.11.4.3.5.4.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} \sqrt[3]{u^{2 \cdot 4} + 4 {(u^{2})}^{3} \cdot - 3 + 6 {(u^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 u^{2} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}}}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

Этап 5.11.4.3.5.4.1.2

Умножим $2$ на $4$ .

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} \sqrt[3]{u^{8} + 4 {(u^{2})}^{3} \cdot - 3 + 6 {(u^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 u^{2} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}}}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

Этап 5.11.4.3.5.4.2

Перемножим экспоненты в ${(u^{2})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.11.4.3.5.4.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} \sqrt[3]{u^{8} + 4 u^{2 \cdot 3} \cdot - 3 + 6 {(u^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 u^{2} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}}}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

Этап 5.11.4.3.5.4.2.2

Умножим $2$ на $3$ .

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} \sqrt[3]{u^{8} + 4 u^{6} \cdot - 3 + 6 {(u^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 u^{2} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}}}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

Этап 5.11.4.3.5.4.3

Умножим $- 3$ на $4$ .

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} \sqrt[3]{u^{8} - 12 u^{6} + 6 {(u^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 u^{2} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}}}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

Этап 5.11.4.3.5.4.4

Перемножим экспоненты в ${(u^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.11.4.3.5.4.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} \sqrt[3]{u^{8} - 12 u^{6} + 6 u^{2 \cdot 2} {(- 3)}^{2} + 4 u^{2} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}}}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

Этап 5.11.4.3.5.4.4.2

Умножим $2$ на $2$ .

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} \sqrt[3]{u^{8} - 12 u^{6} + 6 u^{4} {(- 3)}^{2} + 4 u^{2} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}}}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

Этап 5.11.4.3.5.4.5

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} \sqrt[3]{u^{8} - 12 u^{6} + 6 u^{4} \cdot 9 + 4 u^{2} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}}}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

Этап 5.11.4.3.5.4.6

Умножим $9$ на $6$ .

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} \sqrt[3]{u^{8} - 12 u^{6} + 54 u^{4} + 4 u^{2} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}}}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

Этап 5.11.4.3.5.4.7

Возведем $- 3$ в степень $3$ .

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} \sqrt[3]{u^{8} - 12 u^{6} + 54 u^{4} + 4 u^{2} \cdot - 27 + {(- 3)}^{4}}}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

Этап 5.11.4.3.5.4.8

Умножим $- 27$ на $4$ .

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} \sqrt[3]{u^{8} - 12 u^{6} + 54 u^{4} - 108 u^{2} + {(- 3)}^{4}}}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

Этап 5.11.4.3.5.4.9

Возведем $- 3$ в степень $4$ .

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} \sqrt[3]{u^{8} - 12 u^{6} + 54 u^{4} - 108 u^{2} + 81}}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

Этап 5.11.4.3.5.5

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{(u^{8} - 12 u^{6} + 54 u^{4} - 108 u^{2} + 81) | u |}}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

Этап 5.11.4.3.6

Изменим порядок множителей в $\frac{e^{C} \sqrt[3]{(u^{8} - 12 u^{6} + 54 u^{4} - 108 u^{2} + 81) | u |}}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$ .

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u | (u^{8} - 12 u^{6} + 54 u^{4} - 108 u^{2} + 81)}}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

Этап 5.11.4.4

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$y = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u | (u^{8} - 12 u^{6} + 54 u^{4} - 108 u^{2} + 81)}}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

Этап 6

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \pm \frac{C \sqrt[3]{| u | (u^{8} - 12 u^{6} + 54 u^{4} - 108 u^{2} + 81)}}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$