Математический анализ Примеры

$\frac{d x}{d y} + x = 2 y$

Этап 1

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (y) d y}$ , где $P (y) = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int d y}$

Этап 1.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$e^{y + C}$

Этап 1.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{y}$

Этап 2

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $e^{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член на $e^{y}$ .

$e^{y} \frac{d x}{d y} + e^{y} x = e^{y} (2 y)$

Этап 2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{y} \frac{d x}{d y} + e^{y} x = 2 e^{y} y$

Этап 2.3

Изменим порядок множителей в $e^{y} \frac{d x}{d y} + e^{y} x = 2 e^{y} y$ .

$e^{y} \frac{d x}{d y} + x e^{y} = 2 y e^{y}$

Этап 3

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d y} [e^{y} x] = 2 y e^{y}$

Этап 4

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d y} [e^{y} x] d y = \int 2 y e^{y} d y$

Этап 5

Проинтегрируем левую часть.

$e^{y} x = \int 2 y e^{y} d y$

Этап 6

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$e^{y} x = 2 \int y e^{y} d y$

Этап 6.2

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = y$ и $d v = e^{y}$ .

$e^{y} x = 2 (y e^{y} - \int e^{y} d y)$

Этап 6.3

Интеграл $e^{y}$ по $y$ имеет вид $e^{y}$ .

$e^{y} x = 2 (y e^{y} - (e^{y} + C))$

Этап 6.4

Упростим.

$e^{y} x = 2 (y e^{y} - e^{y}) + C$

Этап 7

Разделим каждый член $e^{y} x = 2 (y e^{y} - e^{y}) + C$ на $e^{y}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим каждый член $e^{y} x = 2 (y e^{y} - e^{y}) + C$ на $e^{y}$ .

$\frac{e^{y} x}{e^{y}} = \frac{2 (y e^{y} - e^{y})}{e^{y}} + \frac{C}{e^{y}}$

Этап 7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель $e^{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{y} x}{e^{y}} = \frac{2 (y e^{y} - e^{y})}{e^{y}} + \frac{C}{e^{y}}$

Этап 7.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{2 (y e^{y} - e^{y})}{e^{y}} + \frac{C}{e^{y}}$

Этап 7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 (y e^{y} - e^{y}) + C}{e^{y}}$

Этап 7.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x = \frac{2 (y e^{y}) + 2 (- e^{y}) + C}{e^{y}}$

Этап 7.3.2.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$x = \frac{2 y e^{y} - 2 e^{y} + C}{e^{y}}$