Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} (x^{2} + 2) + 4 x (y^{2} + 2 y + 1) = 0$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Решим относительно $\frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 2 + 4 x (y^{2} + 2 y + 1) = 0$

Этап 1.1.1.2

Перенесем $2$ влево от $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + 2 \cdot \frac{d y}{d x} + 4 x (y^{2} + 2 y + 1) = 0$

Этап 1.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d y}{d x} x^{2} + 2 \frac{d y}{d x} + 4 x y^{2} + 4 x (2 y) + 4 x \cdot 1 = 0$

Этап 1.1.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{d y}{d x} x^{2} + 2 \frac{d y}{d x} + 4 x y^{2} + 4 \cdot 2 x y + 4 x \cdot 1 = 0$

Этап 1.1.1.4.2

Умножим $4$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + 2 \frac{d y}{d x} + 4 x y^{2} + 4 \cdot 2 x y + 4 x = 0$

Этап 1.1.1.5

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + 2 \frac{d y}{d x} + 4 x y^{2} + 8 x y + 4 x = 0$

Этап 1.1.2

Перенесем все члены без $\frac{d y}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вычтем $4 x y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d y}{d x} x^{2} + 2 \frac{d y}{d x} + 8 x y + 4 x = - 4 x y^{2}$

Этап 1.1.2.2

Вычтем $8 x y$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d y}{d x} x^{2} + 2 \frac{d y}{d x} + 4 x = - 4 x y^{2} - 8 x y$

Этап 1.1.2.3

Вычтем $4 x$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d y}{d x} x^{2} + 2 \frac{d y}{d x} = - 4 x y^{2} - 8 x y - 4 x$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $\frac{d y}{d x}$ из $\frac{d y}{d x} x^{2} + 2 \frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вынесем множитель $\frac{d y}{d x}$ из $2 \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 2 = - 4 x y^{2} - 8 x y - 4 x$

Этап 1.1.3.2

Вынесем множитель $\frac{d y}{d x}$ из $\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 2$ .

$\frac{d y}{d x} (x^{2} + 2) = - 4 x y^{2} - 8 x y - 4 x$

Этап 1.1.4

Разделим каждый член $\frac{d y}{d x} (x^{2} + 2) = - 4 x y^{2} - 8 x y - 4 x$ на $x^{2} + 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Разделим каждый член $\frac{d y}{d x} (x^{2} + 2) = - 4 x y^{2} - 8 x y - 4 x$ на $x^{2} + 2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2} = \frac{- 4 x y^{2}}{x^{2} + 2} + \frac{- 8 x y}{x^{2} + 2} + \frac{- 4 x}{x^{2} + 2}$

Этап 1.1.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.1

Сократим общий множитель $x^{2} + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2} = \frac{- 4 x y^{2}}{x^{2} + 2} + \frac{- 8 x y}{x^{2} + 2} + \frac{- 4 x}{x^{2} + 2}$

Этап 1.1.4.2.1.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 4 x y^{2}}{x^{2} + 2} + \frac{- 8 x y}{x^{2} + 2} + \frac{- 4 x}{x^{2} + 2}$

Этап 1.1.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.3.1

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.3.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.3.1.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x y^{2}}{x^{2} + 2} + \frac{- 8 x y}{x^{2} + 2} + \frac{- 4 x}{x^{2} + 2}$

Этап 1.1.4.3.1.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x y^{2}}{x^{2} + 2} - \frac{8 x y}{x^{2} + 2} + \frac{- 4 x}{x^{2} + 2}$

Этап 1.1.4.3.1.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x y^{2}}{x^{2} + 2} - \frac{8 x y}{x^{2} + 2} - \frac{4 x}{x^{2} + 2}$

Этап 1.1.4.3.1.2

Объединим в одну дробь.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.3.1.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 4 x y^{2} - 8 x y}{x^{2} + 2} - \frac{4 x}{x^{2} + 2}$

Этап 1.1.4.3.1.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 4 x y^{2} - 8 x y - 4 x}{x^{2} + 2}$

Этап 1.1.4.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.3.2.1

Вынесем множитель $4 x$ из $- 4 x y^{2} - 8 x y - 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.3.2.1.1

Вынесем множитель $4 x$ из $- 4 x y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x (- 1 y^{2}) - 8 x y - 4 x}{x^{2} + 2}$

Этап 1.1.4.3.2.1.2

Вынесем множитель $4 x$ из $- 8 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x (- 1 y^{2}) + 4 x (- 2 y) - 4 x}{x^{2} + 2}$

Этап 1.1.4.3.2.1.3

Вынесем множитель $4 x$ из $- 4 x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x (- 1 y^{2}) + 4 x (- 2 y) + 4 x (- 1)}{x^{2} + 2}$

Этап 1.1.4.3.2.1.4

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x (- 1 y^{2}) + 4 x (- 2 y)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x (- 1 y^{2} - 2 y) + 4 x (- 1)}{x^{2} + 2}$

Этап 1.1.4.3.2.1.5

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x (- 1 y^{2} - 2 y) + 4 x (- 1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x (- 1 y^{2} - 2 y - 1)}{x^{2} + 2}$

Этап 1.1.4.3.2.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.3.2.2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 1 \cdot - 1 = 1$ , а сумма — $b = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.3.2.2.1.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x (- 1 y^{2} - 2 (y) - 1)}{x^{2} + 2}$

Этап 1.1.4.3.2.2.1.2

Запишем $- 2$ как $- 1$ плюс $- 1$

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x (- 1 y^{2} + (- 1 - 1) y - 1)}{x^{2} + 2}$

Этап 1.1.4.3.2.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x (- 1 y^{2} - 1 y - 1 y - 1)}{x^{2} + 2}$

Этап 1.1.4.3.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.3.2.2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x ((- 1 y^{2} - 1 y) - 1 y - 1)}{x^{2} + 2}$

Этап 1.1.4.3.2.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x (y (- 1 y - 1) + 1 (- y - 1))}{x^{2} + 2}$

Этап 1.1.4.3.2.2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- 1 y - 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x ((- 1 y - 1) (y + 1))}{x^{2} + 2}$

Этап 1.1.4.3.2.3

Перепишем $- 1 y$ в виде $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x (- y - 1) (y + 1)}{x^{2} + 2}$

Этап 1.1.4.3.2.4

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.3.2.4.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x (- (y) - 1) (y + 1)}{x^{2} + 2}$

Этап 1.1.4.3.2.4.2

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x (- (y) - 1 (1)) (y + 1)}{x^{2} + 2}$

Этап 1.1.4.3.2.4.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (y) - 1 (1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x (- (y + 1)) (y + 1)}{x^{2} + 2}$

Этап 1.1.4.3.2.4.4

Перепишем $- (y + 1)$ в виде $- 1 (y + 1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x (- 1 (y + 1)) (y + 1)}{x^{2} + 2}$

Этап 1.1.4.3.2.4.5

Возведем $y + 1$ в степень $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x \cdot - 1 ({(y + 1)}^{1} (y + 1))}{x^{2} + 2}$

Этап 1.1.4.3.2.4.6

Возведем $y + 1$ в степень $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x \cdot - 1 ({(y + 1)}^{1} {(y + 1)}^{1})}{x^{2} + 2}$

Этап 1.1.4.3.2.4.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x \cdot - 1 {(y + 1)}^{1 + 1}}{x^{2} + 2}$

Этап 1.1.4.3.2.4.8

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x \cdot - 1 {(y + 1)}^{2}}{x^{2} + 2}$

Этап 1.1.4.3.2.4.9

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 4 x {(y + 1)}^{2}}{x^{2} + 2}$

Этап 1.1.4.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x {(y + 1)}^{2}}{x^{2} + 2}$

Этап 1.2

Перегруппируем множители.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x}{x^{2} + 2} {(y + 1)}^{2}$

Этап 1.3

Умножим обе части на $\frac{1}{{(y + 1)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(y + 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(y + 1)}^{2}} (- \frac{4 x}{x^{2} + 2} {(y + 1)}^{2})$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{{(y + 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{{(y + 1)}^{2}} (\frac{4 x}{x^{2} + 2} {(y + 1)}^{2})$

Этап 1.4.2

Сократим общий множитель ${(y + 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{{(y + 1)}^{2}}$ в числитель.

$\frac{1}{{(y + 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{{(y + 1)}^{2}} (\frac{4 x}{x^{2} + 2} {(y + 1)}^{2})$

Этап 1.4.2.2

Вынесем множитель ${(y + 1)}^{2}$ из $\frac{4 x}{x^{2} + 2} {(y + 1)}^{2}$ .

$\frac{1}{{(y + 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{{(y + 1)}^{2}} ({(y + 1)}^{2} \frac{4 x}{x^{2} + 2})$

Этап 1.4.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{{(y + 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{{(y + 1)}^{2}} ({(y + 1)}^{2} \frac{4 x}{x^{2} + 2})$

Этап 1.4.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{{(y + 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = - \frac{4 x}{x^{2} + 2}$

Этап 1.5

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{{(y + 1)}^{2}} d y = - \frac{4 x}{x^{2} + 2} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{{(y + 1)}^{2}} d y = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 2} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть $u_{1} = y + 1$ . Тогда $d u_{1} = d y$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Пусть $u_{1} = y + 1$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Дифференцируем $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Этап 2.2.1.1.2

По правилу суммы производная $y + 1$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 2.2.1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 2.2.1.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 2.2.1.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 2.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 2} d x$

Этап 2.2.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вынесем ${u_{1}}^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 2} d x$

Этап 2.2.2.2

Перемножим экспоненты в ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 2} d x$

Этап 2.2.2.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int {u_{1}}^{- 2} d u_{1} = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 2} d x$

Этап 2.2.3

По правилу степени интеграл ${u_{1}}^{- 2}$ по $u_{1}$ имеет вид $- {u_{1}}^{- 1}$ .

$- {u_{1}}^{- 1} + C_{1} = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 2} d x$

Этап 2.2.4

Перепишем $- {u_{1}}^{- 1} + C_{1}$ в виде $- \frac{1}{u_{1}} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{u_{1}} + C_{1} = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 2} d x$

Этап 2.2.5

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $y + 1$ .

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 2} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = - \int \frac{4 x}{x^{2} + 2} d x$

Этап 2.3.2

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = - (4 \int \frac{x}{x^{2} + 2} d x)$

Этап 2.3.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = - 4 \int \frac{x}{x^{2} + 2} d x$

Этап 2.3.4

Пусть $u_{2} = x^{2} + 2$ . Тогда $d u_{2} = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Пусть $u_{2} = x^{2} + 2$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1.1

Дифференцируем $x^{2} + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Этап 2.3.4.1.2

По правилу суммы производная $x^{2} + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 2.3.4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 2.3.4.1.4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x + 0$

Этап 2.3.4.1.5

Добавим $2 x$ и $0$ .

$2 x$

Этап 2.3.4.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = - 4 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 2.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Умножим $\frac{1}{u_{2}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = - 4 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Этап 2.3.5.2

Перенесем $2$ влево от $u_{2}$ .

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = - 4 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Этап 2.3.6

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = - 4 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Этап 2.3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 4$ .

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = \frac{- 4}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 2.3.7.2

Сократим общий множитель $- 4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 2.3.7.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 2.3.7.2.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 2.3.7.2.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = \frac{- 2}{1} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 2.3.7.2.2.4

Разделим $- 2$ на $1$ .

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 2.3.8

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = - 2 (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Этап 2.3.9

Упростим.

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = - 2 \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Этап 2.3.10

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x^{2} + 2$ .

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = - 2 \ln (| x^{2} + 2 |) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$- \frac{1}{y + 1} = - 2 \ln (| x^{2} + 2 |) + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим $- 2 \ln (| x^{2} + 2 |)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$- \frac{1}{y + 1} = - \ln ({| x^{2} + 2 |}^{2}) + C$

Этап 3.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$y + 1, 1, 1$

Этап 3.2.2

Избавимся от скобок.

$y + 1, 1, 1$

Этап 3.2.3

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$y + 1$

Этап 3.3

Каждый член в $- \frac{1}{y + 1} = - \ln ({| x^{2} + 2 |}^{2}) + C$ умножим на $y + 1$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим каждый член $- \frac{1}{y + 1} = - \ln ({| x^{2} + 2 |}^{2}) + C$ на $y + 1$ .

$- \frac{1}{y + 1} (y + 1) = - \ln ({| x^{2} + 2 |}^{2}) (y + 1) + C (y + 1)$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $y + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{y + 1}$ в числитель.

$\frac{- 1}{y + 1} (y + 1) = - \ln ({| x^{2} + 2 |}^{2}) (y + 1) + C (y + 1)$

Этап 3.3.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{y + 1} (y + 1) = - \ln ({| x^{2} + 2 |}^{2}) (y + 1) + C (y + 1)$

Этап 3.3.2.1.3

Перепишем это выражение.

$- 1 = - \ln ({| x^{2} + 2 |}^{2}) (y + 1) + C (y + 1)$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Уберем знак модуля в ${| x^{2} + 2 |}^{2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$- 1 = - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) (y + 1) + C (y + 1)$

Этап 3.3.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 1 = - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) y - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) \cdot 1 + C (y + 1)$

Этап 3.3.3.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1 = - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) y - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C (y + 1)$

Этап 3.3.3.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$- 1 = - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) y - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C y + C \cdot 1$

Этап 3.3.3.1.5

Умножим $C$ на $1$ .

$- 1 = - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) y - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C y + C$

Этап 3.3.3.2

Изменим порядок множителей в $- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) y - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C y + C$ .

$- 1 = - y \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C y + C$

Этап 3.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем уравнение в виде $- y \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C y + C = - 1$ .

$- y \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C y + C = - 1$

Этап 3.4.2

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$- y \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) = - C y - C - 1$

Этап 3.4.3

Добавим $C y$ к обеим частям уравнения.

$- y \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C y = - C - 1$

Этап 3.4.4

Добавим $\ln ({(x^{2} + 2)}^{2})$ к обеим частям уравнения.

$- y \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C y = - C - 1 + \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})$

Этап 3.4.5

Вынесем множитель $y$ из $- y \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.1

Вынесем множитель $y$ из $- y \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})$ .

$y (- 1 \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})) + C y = - C - 1 + \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})$

Этап 3.4.5.2

Вынесем множитель $y$ из $C y$ .

$y (- 1 \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})) + y C = - C - 1 + \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})$

Этап 3.4.5.3

Вынесем множитель $y$ из $y (- 1 \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})) + y C$ .

$y (- 1 \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C) = - C - 1 + \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})$

Этап 3.4.6

Перепишем $- 1 \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})$ в виде $- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})$ .

$y (- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C) = - C - 1 + \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})$

Этап 3.4.7

Разделим каждый член $y (- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C) = - C - 1 + \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})$ на $- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.7.1

Разделим каждый член $y (- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C) = - C - 1 + \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})$ на $- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C$ .

$\frac{y (- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C)}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C} = \frac{- C}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C} + \frac{- 1}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C} + \frac{\ln ({(x^{2} + 2)}^{2})}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C}$

Этап 3.4.7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.7.2.1

Сократим общий множитель $- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.7.2.1.1

Сократим общий множитель.

Этап 3.4.7.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- C}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C} + \frac{- 1}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C} + \frac{\ln ({(x^{2} + 2)}^{2})}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C}$

Этап 3.4.7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.7.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.7.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{C}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C} + \frac{- 1}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C} + \frac{\ln ({(x^{2} + 2)}^{2})}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C}$

Этап 3.4.7.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{C}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C} - \frac{1}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C} + \frac{\ln ({(x^{2} + 2)}^{2})}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C}$

Этап 3.4.7.3.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.7.3.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{- C - 1}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C} + \frac{\ln ({(x^{2} + 2)}^{2})}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C}$

Этап 3.4.7.3.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{- C - 1 + \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C}$

Этап 3.4.7.3.2.3

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$y = \frac{- C - 1 (1) + \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C}$

Этап 3.4.7.3.2.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- C - 1 (1)$ .

$y = \frac{- (C + 1) + \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C}$

Этап 3.4.7.3.2.5

Вынесем множитель $- 1$ из $\ln ({(x^{2} + 2)}^{2})$ .

$y = \frac{- (C + 1) - 1 (- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}))}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C}$

Этап 3.4.7.3.2.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (C + 1) - 1 (- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}))$ .

$y = \frac{- (C + 1 - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}))}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C}$

Этап 3.4.7.3.2.7

Перепишем $- (C + 1 - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}))$ в виде $- 1 (C + 1 - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}))$ .

$y = \frac{- 1 (C + 1 - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}))}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C}$

Этап 3.4.7.3.2.8

Вынесем множитель $- 1$ из $C$ .

$y = \frac{- 1 (C + 1 - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}))}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) - 1 (- C)}$

Этап 3.4.7.3.2.9

Вынесем множитель $- 1$ из $- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) - 1 (- C)$ .

$y = \frac{- 1 (C + 1 - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}))}{- (\ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) - C)}$

Этап 3.4.7.3.2.10

Перепишем $- (\ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) - C)$ в виде $- 1 (\ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) - C)$ .

$y = \frac{- 1 (C + 1 - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}))}{- 1 (\ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) - C)}$

Этап 3.4.7.3.2.11

Сократим общий множитель.

$y = \frac{- 1 (C + 1 - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}))}{- 1 (\ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) - C)}$

Этап 3.4.7.3.2.12

Перепишем это выражение.

$y = \frac{C + 1 - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})}{\ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) - C}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{C - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})}{\ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C}$