Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = x \cos (x^{2})$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = x \cos (x^{2}) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int x \cos (x^{2}) d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int x \cos (x^{2}) d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Пусть $u = x^{2}$ . Тогда $d u = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Пусть $u = x^{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Дифференцируем $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.3.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x$

Этап 2.3.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$y + C_{1} = \int \cos (u) \frac{1}{2} d u$

Этап 2.3.2

Объединим $\cos (u)$ и $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{\cos (u)}{2} d u$

Этап 2.3.3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \cos (u) d u$

Этап 2.3.4

Интеграл $\cos (u)$ по $u$ имеет вид $\sin (u)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (\sin (u) + C_{2})$

Этап 2.3.5

Упростим.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \sin (u) + C_{2}$

Этап 2.3.6

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \sin (x^{2}) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = \frac{1}{2} \sin (x^{2}) + K$