Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d t} = - b y (t)$

Этап 1

Перепишем уравнение в виде $M (t) \frac{d y}{d t} + P (t) y = Q (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Добавим $b y t$ к обеим частям уравнения.

$\frac{d y}{d t} + b y t = 0$

Этап 1.2

Изменим порядок членов.

$\frac{d y}{d t} + b t y = 0$

Этап 2

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (t) d t}$ , где $P (t) = b t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int b t d t}$

Этап 2.2

Проинтегрируем $b t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $b$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $b$ из-под знака интеграла.

$e^{b \int t d t}$

Этап 2.2.2

По правилу степени интеграл $t$ по $t$ имеет вид $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$e^{b (\frac{1}{2} t^{2} + C)}$

Этап 2.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Перепишем $b (\frac{1}{2} t^{2} + C)$ в виде $b \frac{1}{2} t^{2} + C$ .

$e^{b \frac{1}{2} t^{2} + C}$

Этап 2.2.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.1

Объединим $b$ и $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{b}{2} t^{2} + C}$

Этап 2.2.3.2.2

Объединим $\frac{b}{2}$ и $t^{2}$ .

$e^{\frac{b t^{2}}{2} + C}$

$e^{\frac{1}{2} b t^{2} + C}$

Этап 2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{\frac{1}{2} b t^{2}}$

Этап 2.4

Объединим $\frac{1}{2}$ и $b$ .

$e^{\frac{b}{2} t^{2}}$

Этап 2.5

Объединим $\frac{b}{2}$ и $t^{2}$ .

$e^{\frac{b t^{2}}{2}}$

Этап 3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $e^{\frac{b t^{2}}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член на $e^{\frac{b t^{2}}{2}}$ .

$e^{\frac{b t^{2}}{2}} \frac{d y}{d t} + e^{\frac{b t^{2}}{2}} (b t y) = e^{\frac{b t^{2}}{2}} \cdot 0$

Этап 3.2

Умножим $e^{\frac{b t^{2}}{2}}$ на $0$ .

$e^{\frac{b t^{2}}{2}} \frac{d y}{d t} + e^{\frac{b t^{2}}{2}} (b t y) = 0$

Этап 3.3

Изменим порядок множителей в $e^{\frac{b t^{2}}{2}} \frac{d y}{d t} + e^{\frac{b t^{2}}{2}} (b t y) = 0$ .

$e^{\frac{b t^{2}}{2}} \frac{d y}{d t} + (b t) y e^{\frac{b t^{2}}{2}} = 0$

Этап 4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d t} [e^{\frac{b t^{2}}{2}} y] = 0$

Этап 5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d t} [e^{\frac{b t^{2}}{2}} y] d t = \int 0 d t$

Этап 6

Проинтегрируем левую часть.

$e^{\frac{b t^{2}}{2}} y = \int 0 d t$

Этап 7

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Интеграл $0$ по $t$ имеет вид $0$ .

$e^{\frac{b t^{2}}{2}} y = 0 + C$

Этап 7.2

Добавим $0$ и $C$ .

$e^{\frac{b t^{2}}{2}} y = C$

Этап 8

Разделим каждый член $e^{\frac{b t^{2}}{2}} y = C$ на $e^{\frac{b t^{2}}{2}}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим каждый член $e^{\frac{b t^{2}}{2}} y = C$ на $e^{\frac{b t^{2}}{2}}$ .

$\frac{e^{\frac{b t^{2}}{2}} y}{e^{\frac{b t^{2}}{2}}} = \frac{C}{e^{\frac{b t^{2}}{2}}}$

Этап 8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сократим общий множитель $e^{\frac{b t^{2}}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{\frac{b t^{2}}{2}} y}{e^{\frac{b t^{2}}{2}}} = \frac{C}{e^{\frac{b t^{2}}{2}}}$

Этап 8.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{C}{e^{\frac{b t^{2}}{2}}}$