Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \sin (x) - e^{- x} + 8 x^{3}$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = (\sin (x) - e^{- x} + 8 x^{3}) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int \sin (x) - e^{- x} + 8 x^{3} d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int \sin (x) - e^{- x} + 8 x^{3} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y + C_{1} = \int \sin (x) d x + \int - e^{- x} d x + \int 8 x^{3} d x$

Этап 2.3.2

Интеграл $\sin (x)$ по $x$ имеет вид $- \cos (x)$ .

$y + C_{1} = - \cos (x) + C_{2} + \int - e^{- x} d x + \int 8 x^{3} d x$

Этап 2.3.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = - \cos (x) + C_{2} - \int e^{- x} d x + \int 8 x^{3} d x$

Этап 2.3.4

Пусть $u = - x$ . Тогда $d u = - d x$ , следовательно $- d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Пусть $u = - x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1.1

Дифференцируем $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Этап 2.3.4.1.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Этап 2.3.4.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 2.3.4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$y + C_{1} = - \cos (x) + C_{2} - \int - e^{u} d u + \int 8 x^{3} d x$

Этап 2.3.5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = - \cos (x) + C_{2} - - \int e^{u} d u + \int 8 x^{3} d x$

Этап 2.3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y + C_{1} = - \cos (x) + C_{2} + 1 \int e^{u} d u + \int 8 x^{3} d x$

Этап 2.3.6.2

Умножим $\int e^{u} d u$ на $1$ .

$y + C_{1} = - \cos (x) + C_{2} + \int e^{u} d u + \int 8 x^{3} d x$

Этап 2.3.7

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$y + C_{1} = - \cos (x) + C_{2} + e^{u} + C_{3} + \int 8 x^{3} d x$

Этап 2.3.8

Поскольку $8$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $8$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = - \cos (x) + C_{2} + e^{u} + C_{3} + 8 \int x^{3} d x$

Этап 2.3.9

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$y + C_{1} = - \cos (x) + C_{2} + e^{u} + C_{3} + 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{4})$

Этап 2.3.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.10.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{4}$ .

$y + C_{1} = - \cos (x) + C_{2} + e^{u} + C_{3} + 8 (\frac{x^{4}}{4} + C_{4})$

Этап 2.3.10.2

Упростим.

$y + C_{1} = - \cos (x) + e^{u} + 2 x^{4} + C_{5}$

Этап 2.3.11

Заменим все вхождения $u$ на $- x$ .

$y + C_{1} = - \cos (x) + e^{- x} + 2 x^{4} + C_{5}$

Этап 2.3.12

Изменим порядок членов.

$y + C_{1} = 2 x^{4} + e^{- x} - \cos (x) + C_{5}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = 2 x^{4} + e^{- x} - \cos (x) + K$