Математический анализ Примеры

$(x + 1) d x + (y - 3) d y = 0$

Этап 1

Вычтем $(x + 1) d x$ из обеих частей уравнения.

$(y - 3) d y = - (x + 1) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int y - 3 d y = \int - (x + 1) d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int y d y + \int - 3 d y = \int - (x + 1) d x$

Этап 2.2.2

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int - 3 d y = \int - (x + 1) d x$

Этап 2.2.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - 3 y + C_{2} = \int - (x + 1) d x$

Этап 2.2.4

Упростим.

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C_{3} = \int - (x + 1) d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $- (x + 1)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C_{3} = \int - x - 1 \cdot 1 d x$

Этап 2.3.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C_{3} = \int - x - 1 d x$

Этап 2.3.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C_{3} = \int - x d x + \int - 1 d x$

Этап 2.3.4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C_{3} = - \int x d x + \int - 1 d x$

Этап 2.3.5

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C_{3} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + \int - 1 d x$

Этап 2.3.6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C_{3} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) - x + C_{5}$

Этап 2.3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C_{3} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5}$

Этап 2.3.7.2

Упростим.

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C_{3} = - \frac{1}{2} x^{2} - x + C_{6}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y = - \frac{1}{2} x^{2} - x + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} - 3 y = - \frac{1}{2} x^{2} - x + K$

Этап 3.2

Объединим $x^{2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} - 3 y = - \frac{x^{2}}{2} - x + K$

Этап 3.3

Перенесем все выражения в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Добавим $\frac{x^{2}}{2}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{y^{2}}{2} - 3 y + \frac{x^{2}}{2} = - x + K$

Этап 3.3.2

Добавим $x$ к обеим частям уравнения.

$\frac{y^{2}}{2} - 3 y + \frac{x^{2}}{2} + x = K$

Этап 3.3.3

Вычтем $K$ из обеих частей уравнения.

$\frac{y^{2}}{2} - 3 y + \frac{x^{2}}{2} + x - K = 0$

Этап 3.4

Умножим на наименьшее общее кратное знаменателей $2$ , затем упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 (- 3 y) + 2 (\frac{x^{2}}{2}) + 2 x + 2 (- K) = 0$

Этап 3.4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 (- 3 y) + 2 (\frac{x^{2}}{2}) + 2 x + 2 (- K) = 0$

Этап 3.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$y^{2} + 2 (- 3 y) + 2 (\frac{x^{2}}{2}) + 2 x + 2 (- K) = 0$

Этап 3.4.2.2

Умножим $- 3$ на $2$ .

$y^{2} - 6 y + 2 (\frac{x^{2}}{2}) + 2 x + 2 (- K) = 0$

Этап 3.4.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.1

Сократим общий множитель.

$y^{2} - 6 y + 2 (\frac{x^{2}}{2}) + 2 x + 2 (- K) = 0$

Этап 3.4.2.3.2

Перепишем это выражение.

$y^{2} - 6 y + x^{2} + 2 x + 2 (- K) = 0$

Этап 3.4.2.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$y^{2} - 6 y + x^{2} + 2 x - 2 K = 0$

Этап 3.4.3

Перенесем $- 6 y$ .

$y^{2} + x^{2} + 2 x - 2 K - 6 y = 0$

Этап 3.4.4

Перенесем $2 x$ .

$y^{2} + x^{2} - 2 K + 2 x - 6 y = 0$

Этап 3.4.5

Изменим порядок $y^{2}$ и $x^{2}$ .

$x^{2} + y^{2} - 2 K + 2 x - 6 y = 0$

Этап 3.5

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.6

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 6$ и $c = x^{2} - 2 K + 2 x$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} - 2 K + 2 x))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.1

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} - 2 K + 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot (x^{2} - 2 K + 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 x^{2} - 4 (- 2 K) - 4 (2 x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.4.1

Умножим $- 2$ на $- 4$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 x^{2} + 8 K - 4 (2 x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.4.2

Умножим $2$ на $- 4$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 x^{2} + 8 K - 8 x}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.5

Вынесем множитель $4$ из $36 - 4 x^{2} + 8 K - 8 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.5.1

Вынесем множитель $4$ из $36$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (9) - 4 x^{2} + 8 K - 8 x}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.5.2

Вынесем множитель $4$ из $- 4 x^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (9) + 4 (- x^{2}) + 8 K - 8 x}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.5.3

Вынесем множитель $4$ из $8 K$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (9) + 4 (- x^{2}) + 4 (2 K) - 8 x}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.5.4

Вынесем множитель $4$ из $- 8 x$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (9) + 4 (- x^{2}) + 4 (2 K) + 4 (- 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.5.5

Вынесем множитель $4$ из $4 (9) + 4 (- x^{2})$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (9 - x^{2}) + 4 (2 K) + 4 (- 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.5.6

Вынесем множитель $4$ из $4 (9 - x^{2}) + 4 (2 K)$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (9 - x^{2} + 2 K) + 4 (- 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.5.7

Вынесем множитель $4$ из $4 (9 - x^{2} + 2 K) + 4 (- 2 x)$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (9 - x^{2} + 2 K - 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.6

Перепишем $4 (9 - x^{2} + 2 K - 2 x)$ в виде $2^{2} (3^{2} - x^{2} + 2 K - 2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.6.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (9 - x^{2} + 2 K - 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.6.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (3^{2} - x^{2} + 2 K - 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.7

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3^{2} - x^{2} + 2 K - 2 x}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.8

Возведем $3$ в степень $2$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{9 - x^{2} + 2 K - 2 x}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{9 - x^{2} + 2 K - 2 x}}{2}$

Этап 3.7.3

Упростим $\frac{6 \pm 2 \sqrt{9 - x^{2} + 2 K - 2 x}}{2}$ .

$y = 3 \pm \sqrt{9 - x^{2} + 2 K - 2 x}$

Этап 3.8

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = 3 + \sqrt{9 - x^{2} + 2 K - 2 x}$

$y = 3 - \sqrt{9 - x^{2} + 2 K - 2 x}$

$y = 3 + \sqrt{9 - x^{2} + 2 K - 2 x}$

$y = 3 - \sqrt{9 - x^{2} + 2 K - 2 x}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = 3 + \sqrt{9 - x^{2} + K - 2 x}$

$y = 3 - \sqrt{9 - x^{2} + K - 2 x}$